电磁场第一章-矢量分析综述.ppt

第一章 矢量分析;*;*;*;*;*;*;;1. 标量场的方向导数与梯度;梯度是一个矢量。;*; 若引入算符?，在直角坐标系中该算符 ? 可表示为;解;*;*;*; 矢量 A 沿某一有向曲面 S 的面积分称为矢量 A 通过该有向曲面 S 的通量，以标量 ? 表示，即 ; 闭合的有向曲面的方向通常规定为闭合面的外法线方向。; 已知真空中的电场强度 E 通过任一闭合曲面的通量等于该闭合面包围的自由电荷的电荷量 q 与真空介电常数 ? 0 之比，即，;*; 但是，通量仅能表示闭合面中源的总量，它不能显示源的分布特性。为此需要研究矢量场的散度。;上式表明，散度是一个标量，它可理解为通过包围单位体积闭合面的通量。 ;散度定理;例 求空间任一点位置矢量 r 的散度 。;标量场的梯度;*;*; 矢量场 A 沿一条有向曲线 l 的线积分称为矢量场 A 沿该曲线的环量，以 ? 表示，即; 已知真空中磁??密度 B 沿任一闭合有向曲线 l 的环量等于该闭合曲线包围的传导电流强度 I 与真空磁导率 ? 0 的乘积。即 ; 旋度是一个矢量。以符号 curl A 表示矢量 A 的旋度，其方向是使矢量 A 具有最大环量强度的方向，其大小等于对该矢量方向的最大环量强度，即;直角坐标系中，旋度可用矩阵表示为 ;旋度定理（斯托克斯定理） ;例 试证任何矢量场 A 均满足下列等式;根据散度定理，上式左端 ; 散度处处为零的矢量场称为无散场，旋度处处为零的矢量场称为无旋场。 ; 上式表明，任一标量场? 的梯度的旋度一定等于零。因此，任一无旋场一定可以表示为一个标量场的梯度，或者说，任何梯度场一定是无旋场。 ;5. 格林定理 ;根据方向导数与梯度的关系，上式又可写成; 设任意两个矢量场 P 与 Q ，若在区域 V 中具有连续的二阶偏导数，那么，可以证明该矢量场 P 及 Q 满足下列等式：;基于上式还可获得下式：; 格林定理建立了区域 V 中的场与边界 S 上的场之间的关系。因此，利用格林定理可以将区域中场的求解问题转变为边界上场的求解问题。;6. 矢量场的惟一性定理 ; 若矢量场 F(r) 在无限区域中处处是单值的， 且其导数连续有界，源分布在有限区域V ? 中，则当矢量场的散度及旋度给定后，该矢量场 F(r) 可以表示为 ; 该定理表明任一矢量场均可表示为一个无旋场与一个无散场之和。矢量场的散度及旋度特性是研究矢量场的首要问题。 ;8. 正交曲面坐标系 ;圆柱坐标系( r, ? , z );球坐标系( r, ?, ? );微分单元的表示;坐标变量的转换;; 又知矢量 A 在圆柱坐标系和球坐标系中可分别表示为