4-2向量基本運算-Transo.pdf

4-2 向量基本運算 向量加法 b與向量已知向量 a a b 平行四邊形法則 b ba + a 三角形法則 b ba + a 反向量 a a a? a 與向量 長度相同、方向相反的向量稱為 的反向量，記作 a? 向量加法的運算規律 (1) ba + abba +=+ b a b a ab + (交換律) 向量加法的運算規律 (2) ba + )()( cbacba ++=++ b a cb + 結合律 c cba ++ )( aa =+ 0 0)( =?+ aa (3) (4) 向量加法的運算規律 (3)與(4) 向量減法 ba ?b a b a ab ? 數乘向量 akak = a a2 ak k為一實數 當k0，向量 代表與 同方向且 a 例如 數乘向量 akak = a a2? ak當k0，向量 代表與 反方向且 a 例如 數乘向量之運算規律 )()()( amkakmamk == bkakbak +=+ )( amakamk +=+ )( (1) (3) (2) 在直角座標系中 = zyx aaaa ,, = zyx bbbb ,, +++=+ zzyyxx babababa ,, 若 則 ???=? zzyyxx babababa ,, = zyx kakakaak ,, 向量內積 a F F 在力學中 = aFaFW ,cos 一質點在力 作用下經過位移 則力 對質點所做的功w為 其中 aF , 代表向量 F 與 a 小於π之夾角 內積的定義 1 a a =? bababa ,cos bproa a = 與 的內積是一個實數，其值為 其中 ba, 代表向量 aprob b = 與 b 小於π之夾角b 內積的定義 2 ba ? a 0=a 0=b 也稱為 若 或 0=?ba 的點積，又稱純量積與 b 則 向量內積之運算規律 )()( bakbak ?=? (1) (2) (結合律) (交換律) cbcacba ?+?=?+ )((3) abba ?=? (分配律) = 0,0,1i X軸 Y軸 Z軸 = 0,0,1j = 0,0,1k 10cos =° ∴ °××= 0cos11 同理 =? iiiiii ,cos 111 ××= 1= 1=? ii 1=? jj 1=?kk 1=== kji °=== 0,,, kkjjii 090cos =° ∴ °××= 90cos11 同理 =? jijiji ,cos 011 ××= 1= 0=? ji 0=? kj 1=? ik 1=== kji °=== 90,,, ikkjji 1=? ii 1=? jj 1=?kk 0=? ji 0=?kj 0=? ik kibajibaiiba zxyxxx ?+?+?= 設 == zyxzyx bbbbaaaa ,,,, )()( kbjbibkajaiaba zyxzyx ++?++=? zzyyxx bababa ++= 1=? ii 1=? jj 1=?kk kbjbibbkajaiaa zyxzyx ++=++= kjbajjbaijba zxyyxy ?+?+?+ kkbajkbaikba zzyzxz ?+?+?+ 0=? ji 0=? ki 0=? kj 設== zyxzyx bbbbaaaa ,,,, zzyyxx babababa ++=? 練習 ?=?= 1,1,52,3,1 ba =?ba zzyyxx babababa ++=? 612)1(35)1( ?=×+?×+×? 練習 ?=?= 10,1,20,3,1 ba =?ba zzyyxx babababa ++=? 5100)1()3(12 =×+?×?+× 0,,0,, ≠=≠= zyxzyx bbbbaaaa ? ba ⊥ 設 ? 0=?ba 證明於下一頁 0=++ zzyyxx bababa ?? 設 0=?ba 0,cos =?? baba ? 090cos =° ba ⊥ ? 0,cos = ba °= 90,ba 222222 ,cos zyxzyx zzyyxx bbbaaa bababa ba ++++ ++ = 設 bbbbbaaaa zyxzyx ≠=≠= ,,0,, ba baba ?= ,cos bababa ?=? ,cos 2cos γbb z = 設 0,,0,, ≠=≠= zyxzyx bbbbaaaa 2cosβbby = 1cos γaa z = 1111 ,, γβα a b 2cosαbbx = 1cosβaay =1cosαaax = 222 ,, γβα 為 的方向角 為 的方向角 2cosγbbz = 212121 coscoscoscoscoscos γγββαα bababa ++= 則 ? ba