第六章——离散时间系统的时域论述.docx

第六章 离散时间系统的时域分析 6.1离散时间信号—序列 （一）序列运算 [1] 相加 [2] 相乘 [3] 延时 [4] 反褶 [5] 前向差分 [6] 后向差分 [7] 累加 [8] 倍乘 序列的尺度倍乘将波形压缩或拓展，若将自变量乘以正整数，构成为压缩，而则为波形扩展。必须注意，这时要按规律去除某些点或者补足相应的零值。因此，也称这种运算为序列的“重排”。 (二)常见序列 1. 单位样值信号 2. 单位阶跃序列 3. 矩形序列 4. 斜变序列 5. 指数序列 6. 正余弦序列 7. 复指数序列 6.2离散时间系统的数学模型 （一）三种方框图 在时间域描述中，以符号表示单位延时（也可用符号“”或者符号“”表示单位延时）；以符号表示两个序列相加；以符号表示序列与系数相乘。三种运算的方框图如下： 单位延时 相加 乘系数 例 一个离散时间系统如下图所示，写出描述系统工作的差分方程。 解 延时器的输入端应为序列。 于是，围绕相加器可以写出 或者 6.3常系数线性差分方程的求解 (一)求解常系数线性差分方程的方法 [1]时域经典法 与微分方程的时域经典法类似，先分别求齐次解与特解，然后代入边界条件求待定系数。 [2]迭代法 [3]分别求零输入响应与零状态响应 [4]变换域方法 类似于连续时间系统分析中的拉氏变换方法，利用Z变换方法解差分方程 （二）齐次差分方程解的形式 特征方程根的形式 差分方程的通解 1.不等的实根 2. 阶重根 3.共轭复根 例 求下示差分方程的完全解 其中激励函数，且已知。 解：1.首先求解齐次解。 由上述差分方程可得该差分方程所对应的特征方程为 解得特征根为 故可得齐次解为 2.接着求解特解。 将激励代入差分方程的右端可得自由项为，据此选择特解的形式为，其中为待定系数。 将特解和激励代入上述差分方程，经化简得 比较方程两端的系数可得 解得 所以特解为 3.最后求解完全解。 由上述可知，完全解=齐次解+特解，即有 由可解得系数 故有 注：一般情况下，若激励函数代入方程式右端出现形式的函数，则特解选择；如果出现形式的函数，且不是此差分方程的特征根，则特解选择形式的函数；如果出现或者形式的函数，则特解选择形式的函数。 例 已知系统的差分方程表达式为 若边界条件，求系统的完全响应。 解：1.先求零状态响应。 零状态响应条件下，此时，由迭代法可以求解出此时。 由差分方程可得与之相对应的齐次特征方程为 故可得齐次解为，由差分方程右端激励形式可知，特解的形式为，将特解代入差分方程得到，解得。 所以零状态响应为，由可得，所以零状态响应为 2.再求零输入响应。 令激励信号等于零，差分方程表示式为 由差分方程可得与之相对应的齐次特征方程为 故可得零输入响应为，由可以解得系数，所以零输入响应为 3.最后求完全解。 完全响应=零状态响应+零输入响应，故有 例 某系统的输入输出关系可由二阶常系数线性差分方程描述，如果相应于输入为的响应为，若系统起始为静止的，试决定此二阶差分方程。 解 由激励知特解的形式为，从而将全响应分解为齐次解与特解之和，显见特征根，所以题示差分系统的一般方程形式为 其中，为待定系数。将激励代入得到 由于系统起始静止，即，再由题示全响应计算出，全部带入上式，解得。 最终写出代求二阶差分方程为 6.4离散时间系统的单位冲激响应 （一）定义 单位样值作为激励而产生的系统零状态响应——单位样值响应。 （二）单位样值响应 例 若描述某离散时间LTI系统的差分方程为 求系统的单位脉冲响应。 解：1.求等效初始条件。 对于因果系统，有，代入上述差分方程可以推导出等效初始条件 2.求差分方程的齐次解。 差分方程对应的特征方程为 解得特征根，由此可得单位脉冲响应的形式为 代入初始条件，有 解得，故系统的单位脉冲响应为 6.5卷积和 （一）定义 （二）对位相乘求和法 利用一种“对位相乘求和”的方法可以较为快捷地计算出简单序列的卷积结果。为此，将两序列样值以各自n的最高值按右端对齐排列，然后逐位相乘相加求和，即可得到两序列的卷积和。 例 已知两序列 求卷积。 解：对于这样的简单序列，我们可以采用“对位相乘求和”法快捷地计算出结果，具体步骤如下： 为方便书写，我们将序列写作： 下面进行对位相乘求和运算 10 5 20 5