5.3克莱姆法则-初步翻译论述.docx

聂斐斐 2013052122 5.3 克莱姆法则、逆与容量 本节用代数,而不是用消除法解决Ax=b。我们也可以转化A。在A-1的代入数据中，你可以发现在所有的分母中存在det A——我们除以它。（若det A=0，则A不可除，且A-1不存在）A-1和A-1b中的每个代入数据是一个除以行列式A的行列式。 核心思想 Ax100x210x301=b1a12a13b2a22a23b3a32a33=B1 (1) 我们每次乘一列，代入三个矩阵的行列式。 乘积法则 (det A)(x1)=det B1 或 x1=det B1det A 这就是克莱姆法则中x的第一部分，改变A的一列赋给B1。 为得到x2，将矢量x放入单位矩阵的第二列中： 同理 a1a2a31x100x200x31=a1ba3=B2 (3) 用行列式得出(det A)(x2)=det B2。在克莱姆法则中这将赋给x2： 克莱姆法则 如果detA不为零，Ax=b可被行列式解出。 x1=det B1det A x2=det B2det A …… xn=det Bndet A (4) 矩阵Bj含有A的第j列，其中A被矢量b取代。 例1 要解决3x1+4x2=2和5x1+6x2=4需要三个行列式： detA=3456 detB1=2446 detB2=3254 这些行列式分别等于-2、-4和2。所有的比值除以det A。 克莱姆法则 x1=-4-2=2 x2=2-2=-1 Check 34562-1=24 为用n个方程组解决一个n，克莱姆法则求n+1个行列式（包括A和n个不同的B）。当每一个都等于n！个项的和——应用带有所有置的“大公式”——这能得到总数为(n+1)!的项。用这种方式解决方程式太复杂繁琐。但我们最后的确会得到一个解决x的直接公式。 列2 对数字而言，克莱姆法则是低效的，但对字母很合适。比如n=2，通过解决AA-1=I来找到A-1的列： I的列 abcdx1x2=10 abcdy1y2=01 他们共享了同一个A。为得到x1、x2、y1、y2，我们需要五个行列式： abcd和1b0d a1c0 0b1d a0c1 最后四个是d,-c,-b,和a（它们是代数余子式）。这里有A-1： x1=dA，x2=-cA，y1=-bA，y2=aA，则A-1=1ad-bcd-b-ca。 我选择2阶是为了要点能够被清晰地展示出来。这个新思想是代数余子式的表现。当右边是单位矩阵I的一列时，每一个矩阵Bj的行列式在克莱姆法则中是一个代数余子式。你可以看见n=3的余子式。计算AA-1=I（仅第一列）： 行列式=A的余子式 1a12a130a22a230a32a33 a111a31a210a23a310a33 a11a121a21a220a31a320 (5) 第一个行列式B1等于余子式C11。第二个行列式B2等于余???式C12。要注意正确书写-(a21a33-a23a31)中的负号。余子式C12代入A-1的第2,1项——第一列。所以我们将列矩阵转置，并且我们一如既往的除以det A。 A-1的i,j项是除以det A的余子式Cji（不是Cij）： A-1的公式 (A-1)ij=Cjidet A 和 A-1=CTdet A (6) 余子式C12代入“余子式矩阵”C中。它的转置是A-1。为计算A-1的第i,j项，划掉A的j行和i列。将行列式乘以(-1)i+j来得到余子式，在除以det A。 检查针对A-1中第3,1项的法则。这是在列1中，所以我们解决了Ax=(1,0,0)。第三个分量x3需要方程(5)中的第三个行列式，并除以det A。第三个行列式正好等于余子式C13=a21a32-a22a31。因此(A-1)31=C13det A（除以三阶的二阶行列式）。 总结 在解决AA-1=I时，I的列项会导出A-1的列项。然后克莱姆法则运用b=I的列项将简短的公式(6)的值赋给A-1 A-1=CTdet A的直接证明 这个想法就是将CT反复乘以A次： a11a12a13a21a22a23a31a32a33C11C21C31C12C22C32C13C23C33=detA000detA000detA(7) A的第一行乘以余子式的第一列在右边就会得到第一个detA： a11C11+a12C12+a13C13=det A 通过余子式法则 同理，A的第二行乘以CT（转置）的第二列得到det A。a2j会如预料中那样乘以余子式C2j来将值赋给行列式。 如何解释在方程(7)中