《矢量与场论》知识点归纳论述.pdfVIP

矢量分析与场论 实数域内任一代数即一个只有大小的量称之为标量，而一个既有大小又有方向特性的量 称之为矢量。无论是标量还是矢量，一旦被赋予物理单位，则成为一个具有物理意义的量即 所谓的物理量。物理量数值的无穷集合称为场。如果这个物理量是标量，就称其为标量场； 如果物理量是矢量就称这个场为矢量场。场的一个重要属性是它占有一个空间，而且在该空 间域内，除有限个点或表面外它是处处连续的。如果场中各处物理量不随时间变化，则称该 场为静态场，不然，则称为动态场或时变场。 本章从定义标量和矢量出发，讨论矢量在直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系三种坐标 系中的表示法及其代数运算和相互关系；然后介绍了矢量及标量的微分和积分几及其性质； 最后引入亥姆霍兹定理，它是矢量场共同性质的总结。 1.1 矢量及其代数运算 一、标量和矢量 电磁场中遇到的绝大多数物理量，能够容易地区分为标量（scalar）和矢量(vector)。一 个仅用大小就能够完整地描述的物理量称为标量，例如，电压、温度、时间、质量、电荷等。 实际上，所有实数都是标量。一个有大小和方向的物理量称为矢量，电场、磁场、力、速度、 力矩等都是矢量。例如，矢量 可以写成 A AaA = A Aa = （1-1-1） 其中 A是矢量 的大小，A a的大小等于 1，代表矢量 的方向。 A 一个大小为零的矢量称为空矢（null vector）或零矢（zero vector），一个大小为 1 的矢 量称为单位矢量（unit vector）。在直角坐标系中，用单位矢量 、 和 表征矢量分别沿xa ya za x、 和 轴分量的方向。 y z 空间的一点 ( )ZYXP ,, 能够用它在三个相互垂直的轴线上的 投影唯一地被确定如图 1-1 所示。从原点指向点P的矢量 称为位 置矢量(position vector)，它在直角坐标系中表示为 r ZYX zyx aaar ++= （1-1-2） 式中， 和YX , Z 是 在r x、 和 轴上的标投影。 y z 任一矢量 在三维正交坐标系中都可以给出其三个分量。例 如，在直角坐标系中，矢量 的三个分量分别是 、 、 ， 利用三个单位矢量 、 、 可以将矢量 表示成： A A xA yA zA xa ya za A zzyyxx AAA aaaA ++= （1-1-3） 矢量 的大小A A： ( ) 21222 zyx AAAA ++= （1-1-4） 二、矢量的代数运算 1 矢量的加法和减法 任意两个矢量 与A B 的相加等于两个矢量相应分量相加，它们的和仍然矢量，即 )B(A)B(A)B(A zzzyyyxxx +++++=+= aaaBAC (1-1-5) 任意两个矢量 与A B 的相减，把其中的一个矢量变号后再相减就得到它们的差，即 )B(A)B(A)B(A) zzzyyyxxx ?+?+?=?+=?= aaaBABAD ( (1-1-6) 2 矢量的乘积 矢量的乘积包括标量积和矢量积。 （1） 标量积(scalar product) 任意两个矢量 与A B 的标量积是一个标量，它等于两个矢量的大 小与它们的夹角的余弦之乘积，如图 1-2，记为 θcosAB=?BA (1-1-7) 标量积也称为点积（dot product），如果两个不为零的矢量的标量 积等于零，则这两个矢量必然相互垂直，或者说两个互相垂直的矢量的点乘一定为零。 例如，直角坐标系中的单位矢量有下列关系式： (1-1-8) ?? ? ? ? =?=?=? =?=?=? 1 0 zzyyxx zxzyyx aaaaaa aaaaaa 若用矢量的三个分量来表示标量积： zzyyxx BABABA ++=?BA (1-1-9) 标量积服从交换律和分配律，即 ABBA ?=? (1-1-10) CABACBA ?+?=+? )( (1-1-11)