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§2 动能定理
(一)基础知识
一、动能定理
1、内容:合力所做的功等于物体动能的变化。
2、表达式:W=EK2-EK1。
3、说明:动能定理是对单一物体(可视为质点),应用牛顿运动定律推导得到的,所以动能定理的应用条件要满足一是质点,二是在同一惯性参照系。
在非惯性系中,质点动能定理除了考虑各力做的功外,还要考虑惯性力做的功,其总和对应于质点动能的改变。此时功和动能中的位移、速度均为相对于非惯性参照系的值。
二、质点系的动能定理
对于质点系中的任一质点mi ,它所受合外力有质点系外部施与的力F系外和质点系内部其它质点施与的力F系内构成,相应的功也有两份,,应用动能定理得
(i=1,2,3,4n)
求和得,即W外+W内=ΔEK系统 。
这表明在某一过程中质点系的全部外力和内力做功之和等于该质点系动能的增量,这称为质点系的动能定理或系统的动能定理。
质点系的动能定理同样只适用于同一惯性参照系。
三、质点系的功能原理
因为W内= W内保+ W内非保 , W内保=,
所以系统动能定理变形为W外+ W内非保=ΔEK系统+=
特例,如果外力和非保守力都不做功,则=0,故系统动能定理变为系统机械能守恒定律。
(二)典型例题
[例题1]
某地强风的风速约为v=20m/s,设空气密度为ρ=1.3Kg/m3,如果把通过横截面积为S=20m2的风的动能全部转化为电能,则利用上述已知量计算电功率应为多少瓦?(取一位有效数字)
[解]
[题后小结]
[例题2]
如图所示,质量为m的物体可沿竖直轨道A、B上下运动,物体正下方放置一轻弹簧。物体与轨道间的最大静摩擦力与动摩擦力都是。现在,物体从距弹簧为a的高处由静止开始下滑。试求
(1) 物体下滑达到的最低位置与弹簧劲度系数k的关系;
(2) 物体由最低位置第一次弹回的高度与k 的关系。
[解]
(1) 将物体下落达到的最低位置用弹簧下压距离s表示,如图所示。
据功能原理有
可解得
(2) 反弹高度用图所示h 量表示。
ⅰ) 此种情况对应
将s表述式代入后,可解得
ⅱ)
据功能原理有 可解得
将s表述式代入后, 可得
要求, 即 可得
将s表述式代入后,即得这???情况发生的条件为
特例:时,有
反弹量为
ⅲ)
条件即为
据功能原理有
由(1) 问的解,可得
即有 或
综上所述,有 时 h=0
时
时
时
[题后小结]
[例题3]
F
两个质量均为m的刚性小球,用长为2l的不可伸长的绳连接起来放置于光滑水平面上,绳恰好被拉直。现用一垂直于细绳的水平恒力F作用于绳的中点,拉动处于静止状态的小球,如图所示。问小球在第一次相碰前的瞬间,两小球在垂直于恒力方向上的分速度各是多大?
[解]
设F作用线的方向为x方向,当绳与F作用线成角时,绳张力为T,
对绳上节点O,,
F
T
O
对小球,, ,即小球在x方向上做匀加速运动。
设F的作用点共移动s距离,则小球在x方向上运动了的距离,小球碰撞前在x方向上的速度为
。
在这段过程中,根据动能定理
=,解得
[题后小结]
[例题4]
质量为2t的汽车在平直公路上由静止开始运动,若保持牵引力恒定,则在30s内速度增大到15m/s,这时汽车刚好达到额定功率,然后保持额定输出功率不变,再运动15s达到最大速度20m/s,求:
(1)汽车的额定功率;
(2)汽车运动过程中受到的阻力;
(3)汽车在45s共前进多少路程。
[解]
(1)(2)设汽车的额定功率为P,运动中所受的阻力为f,前30s内的牵引力为F,则前30s内,匀加速运动的加速度为a==0.5m/s2
此过程中 F-f=ma
P=Fv1=(f+ma)v1
在45s末有 P=fv2
代入数据后解得 P=60kW ,f=3000N 。
(3)汽车在前30s内运动的路程为 s1==225m ,
后15s内的位移s2满足 Pt2-fs2=mv22-mv12 ,解得
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