2第02章张量(第01讲)论述.pdf

第二章 张量 2.1 基本概念 2.2 矢量 2.3 张量 2.1 基本概念 张量的由来：19世纪后期由高斯（Gauss）、黎曼 （Riemann）、克里斯托夫（Christoffel）等人在发展 微分几何过程中引入。瑞西（Ricci）和勒维·奇维塔 (Levi-Civita)发展了张量分析。1916年，爱因斯坦提 出求和约定（Einstein summation convention），用于 阐述广义相对论，张量才引起人们的重视。 0阶张量 标量 1阶张量 矢量（向量） 2阶张量或高阶张量的来源： ① 描述一些复杂的物理量 ② 低阶张量的梯度 讨论应力、应变和本构方程时，通常采用矢量和张量 符号，具有表达简洁的特点，另外容易引入程序编制中。 坐标系规定：采用右手螺旋直角坐标系，熟悉记法为x 轴、y轴、z轴，按规则记法为x1 轴、 x2轴、 x3轴(或e1 轴、 e2轴、 e3轴） 一阶张量的记法： ①实体记法： U 3 ②分解式记法：Uueueue=+ + = ue 11 2 2 33 ∑i ii =1 ③分量记法 ui 二阶张量的记法： 2.2 矢量 2.2.1 矢量代数 2.2.2 标量积 2.2.3 矢量积 2.2.4 三重积 2.2.5 标量场和矢量场 2.2.1 矢量代数 矢量既有大小又有方向，在坐标系中通 常用箭头表示。 对空间任一点Ｐ，坐标是（v1， v２， v ），可以表示为矢量 或 。 ３ V OP V ? 由单位矢量叠加有：v e v e v = 1 1 + 2 2 + 3e3 ? 或简洁写为：(一阶张量）V v v = ( 1, 2 ,v3 ) 若两矢量V和U相等，可表示为： vuii= , i = 1, 2, 3 可简洁表示为： vi = ui 下标i没有特别指明，认为它代表了三种可 能下标中的任一个。 V 两个矢量Ｕ与Ｖ之和由平行四边形法则得到，为u 分量之和： v e u v W =U ± e u v = ( 1 ± 1) 1 + ( 2 ± 2 ) 2 + ( 3 ± 3 )e3 或简洁表示为： wi ui = + vi 2.2.2 标量积 矢量有两种乘法，即标量积（点积或内积） 和矢量积（叉积）。 ? 矢量U和V的标量积定义为：U V ? =|U ||V | cosθ |U|表示矢量U的绝对长度，θ 为矢量U和V的 夹角。 e e e ? =| e|| | cos90D = 0 e1 e2 1 2 e D 1 ? 1 =| 1 || e1 | cos0 = 1 ? 标量积的计算式为：U V u e u ? = ( 1 1 +e 2 2 + 3 3 )?( 1 1 + 2 2 + 3 3 ) u v u e = 1 1 u+ v2 2 + 3 3 v u e 3 v v e v