(华杯)16届初一总决赛讲解版论述.docVIP

第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛 总决赛 初一组一试试题解答 一、填空题（共3题，每题10分） 1. 计算= 解： 2. 正方形ABCD的面积等于625平方厘米.如图，DE与CF相交于G.已知平方厘米.△BFG的面积是 平方厘米. 答：△BFG的面积是50平方厘米. 解：由于正方形ABCD的面积等于625平方厘米. 所以，边长厘米.由于平方厘米，所以AE=10厘米. 连接CE, 则（平方厘米）. 而已知（平方厘米）， 则连接AG. 由（平方厘米） 但，而，比较可得 （平方厘米）. 3. 用长度分别为的木条去摆三角形，每个三角形的三条边的长度分别为，，问最多有多少种不同的取法？ 答案：9500. 解：利用三条边可以构成三角形的条件：任意的两个边的和大于第三边. 边长为1的木条不能与其它长度的木条构成三角形. 三角形的最小边长为2时，边长为2的木条只能与差值为1的两个木条构成三角形，故有47对. 三角形的最小边长为3时，边长为3的木条只能与差值为1，2的两个木条构成三角形，故有46+45对. 三角形的最小边长为4时，边长为3的木条只能与差值为1，2，3的两个木条构成三角形，故有45+44+43对. ...... 三角形的最小边长为（时，边长为的木条只能与差值为1，2，3，(，的两个木条构成三角形，故有对. 三角形的最小边长为（时，边长为的木条只能与差值为1，2，3，(，的两个木条构成三角形，故有对. 故总数为 二、解答题（共3题，每题10分，写出解答过程） 4. 用表示自然数的数字和，如，，等等，求自然数，使得. 答: 1991. 解1： ， 则可设或，其中，且为整数. 若，则，即 若，则，即 没有符合条件的整数解. 因此，n =1991. 解2：因为要使，只须 即已知在时最大为38，所以其中被9除余2的有1991，2000，2009.其中只有1991满足1991+20=2011，所以 5. 两个21位自然数和，每个都由三个1、三个2、三个3、三个4、三个5、三个6和三个7组成，使得是自然数，问k能取哪几个自然数？说明你的理由. 答：1. 解：显然 假设存在这样的和，使得数是一个大于1的自然数，则可设，故. 两边分别除以9，用数被9除的性质知和被9除的余数均等于被9除的余数，即84被9除的余数，为3. 因此3与模9同余. 由 ， 及和不同（即）推得，即. 考虑数最低位的数字7，当把乘以4时，这个数字7的下一位（如果有）最多为6，因此乘以4最多进两位，这说明中对应位的数字为8（下面不进位,7×4=28）或9（下面进一位）或0（下面进两位），这与由三个1、三个2、三个3、三个4、三个5、三个6和三个7组成相矛盾！即不存在满足条件的和.使得数是一个大于1的自然数. 所以，只有 6. 使得关于未知数x的方程无解的自然数 k由小到大排成一行,其前2011个k的值之和等于多少？ 解. k 0 1 2 3 x 1 2 3 4 0 1 2 3 设；令待定. . 从上表可知， 是有解的. 因此，都有解. 下面考虑 显然， 而对于 上式对于任意的成立. 所以当时，方程无正有理数解. 因此，前2011个k的值之和= 初一组二试试题解答 一、填空题（共3题，每题10分） 1. 一水池有一进水口，若干同样大小的排水口.如果同时打开进水口和5个排水口，连续30个小时可以将水排尽；如果同时打开进水口和6个排水口，连续20小时可以将水排尽.如果同时打开进水口和15个排水口，几小时可以将水排尽？ 答：5小时. 解：设一水池水为z立方米，进水口每小时过水y立方米，一个排水口每小时排水x立方米.于是 由此此得 两式两边分别相减得 ∴ ；同样可得 . 设同时打开一进水口和15个排水口，t小时可以将水排尽. 则 即 所以 （小时）. 2. 图中，四边形ABCD是一个长方形，EF//AB，GH//AD, EF和GH相交于点O, 三角形OBD的面积是，求长方形OFCH的面积和长方形AGOE的面积差. 答： 解：从图中可见， 即 即 但 因此得 3. 自然数a，b互质，如果，，n是10进制数b的位数，则= .其中表示不超过的最大整数，表示的小数部分. 答： 解：设符合题意的最简分数为，a、b均为正整数且互质.可知ba，根据题意即