中考数学与函数有关的压轴题(解答题七).docVIP

2015中考数学与函数有关的压轴题（解答题七） 31.（2014?邵阳，第26题10分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2﹣（m+n）x+mn（m＞n）与x轴相交于A、B两点（点A位于点B的右侧），与y轴相交于点C． （1）若m=2，n=1，求A、B两点的坐标； （2）若A、B两点分别位于y轴的两侧，C点坐标是（0，﹣1），求∠ACB的大小； （3）若m=2，△ABC是等腰三角形，求n的值． 考点： 二次函数综合题 分析： （1）已知m，n的值，即已知抛物线解析式，求解y=0时的解即可．此时y=x2﹣（m+n）x+mn=（x﹣m）（x﹣n），所以也可直接求出方程的解，再代入m，n的值，推荐此方式，因为后问用到的可能性比较大． （2）求∠ACB，我们只能考虑讨论三角形ABC的形状来判断，所以利用条件易得﹣1=mn，进而可以用m来表示A、B点的坐标，又C已知，则易得AB、BC、AC边长．讨论即可． （3）△ABC是等腰三角形，即有三种情形，AB=AC，AB=BC，AC=BC．由（2）我们可以用n表示出其三边长，则分别考虑列方程求解n即可． 解答： 解：（1）∵y=x2﹣（m+n）x+mn=（x﹣m）（x﹣n）， ∴x=m或x=n时，y都为0， ∵m＞n，且点A位于点B的右侧， ∴A（m，0），B（n，0）． ∵m=2，n=1， ∴A（2，0），B（1，0）． （2）∵抛物线y=x2﹣（m+n）x+mn（m＞n）过C（0，﹣1）， ∴﹣1=mn， ∴n=﹣， ∵B（n，0）， ∴B（﹣，0）． ∵AO=m，BO=﹣，CO=1 ∴AC==， BC==， AB=AO+BO=m﹣， ∵（m﹣）2=（）2+（）2， ∴AB2=AC2+BC2， ∴∠ACB=90°． （3）∵A（m，0），B（n，0），C（0，mn），且m=2， ∴A（2，0），B（n，0），C（0，2n）． ∴AO=2，BO=|n|，CO=|2n|， ∴AC==， BC==|n|， AB=xA﹣xB=2﹣n． ①当AC=BC时，=|n|，解得n=2（A、B两点重合，舍去）或n=﹣2； ②当AC=AB时，=2﹣n，解得n=0（B、C两点重合，舍去）或n=﹣； ③当BC=AB时，|n|=2﹣n， 当n＞0时，n=2﹣n，解得n=， 当n＜0时，﹣n=2﹣n，解得n=﹣． 综上所述，n=﹣2，﹣，﹣，时，△ABC是等腰三角形． 点评： 本题考查了因式分解、二次函数性质、利用勾股定理求点与点的距离、等腰三角形等常规知识，总体难度适中，是一道非常值得学生加强联系的题目． 32．（2014·浙江金华，第22题10分） （1）阅读合作学习内容，请解答其中的问题. （2）小亮进一步研究四边形的特征后提出问题：“当时，矩形AEGF与矩形DOHE能否全等？能否相似？” 针对小亮提出的问题，请你判断这两个矩形能否全等？直接写出结论即可；这两个矩形能否相似？若能相似，求出相似比；若不能相似，试说明理由. 【答案】（1）①；②；（2）这两个矩形不能全等，这两个矩形的相似比为. 【解析】 ∴，解得或. ∴点F 的坐标为. （2）这两个矩形不能全等，理由如下： 设点F 的坐标为，则， 考点：1. 阅读理解型问题；2.待定系数法的应用；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.正方形的和矩形性质；5.全等、相似多边形的判定和性质；6.反证法的应用. 33.（2014?四川自贡，第24题14分）如图，已知抛物线y=ax2﹣x+c与x轴相交于A、B两点，并与直线y=x﹣2交于B、C两点，其中点C是直线y=x﹣2与y轴的交点，连接AC． （1）求抛物线的解析式； （2）证明：△ABC为直角三角形； （3）△ABC内部能否截出面积最大的矩形DEFG？（顶点D、E、F、G在△ABC各边上）若能，求出最大面积；若不能，请说明理由． 考点： 二次函数综合题 分析： （1）由直线y=x﹣2交x轴、y轴于B、C两点，则B、C坐标可求．进而代入抛物线y=ax2﹣x+c，即得a、c的值，从而有抛物线解析式． （2）求证三角形为直角三角形，我们通常考虑证明一角为90°或勾股定理．本题中未提及特殊角度，而已经A、B、C坐标，即可知AB、AC、BC，则显然可用勾股定理证明． （3）在直角三角形中截出矩形，面积最大，我们易得两种情形，①一点为C，AB、AC、BC边上各有一点，②AB边上有两点，AC、BC边上各有一点．讨论时可设矩形一边长x，利用三角形相似等性质表示另一边，进而描述面积函数．利用二次函数最值性质可求得最大面积． 解答： （1）解：∵直线y=x﹣2交x轴、y轴于B、C两点， ∴B（4，0），C（0，﹣2）， ∵y=ax2﹣x+c过B、C两点， ∴， 解得 ， ∴y=x2﹣x﹣2． （2）证明：如图1，连接