中文班常微分方程半期考试卷部分答案.docVIP

漳 州 师 范 学 院 _________________系________________专业_______级 《常微分方程（中文）》课程半期考试卷 （2010—2011学年度第一学期） 班级____________学号_____________姓名___________考试时间： 题号 一 二 三 四 总　分 得分 　　　　一、　填空（每空3分） 1．微分方程是指含有自变量、未知函数及其 的关系式。 2．微分方程与直线相切的解是_____________________ 3. 当_______________时，方程称为恰当方程。 4. 方程经过变量替换__________________后，可化为齐次方程。 5. 函数称为在矩形域上关于满足利普茨兹条件,如果存在常数使得不等式 对于所有的 , 都成立。 6．方程在区域______R2___________中满足解的存在唯一性定理的条件。 7. 伯努利方程的积分因子为 8. 方程满足条件和的解的存在区间分别是________________, 9. 已知方程为，= 　　　　　　二、计算题（6+8+8+8+8=38分） 1. 解：为一阶线性方程 ， 代入公式，得方程的通解为 （为任意常数）。 2. 解： 令 则 即 故方程的解为 （c为任意常数） 3． 解： ，积分因子 两边同乘以后方程变为恰当方程： ，两边积分得： 得： 因此方程的通解为：（为任意的常数） 4． 解： 方程两端同乘以，得 令 ，则，代入上式，得 通解为 （为任意的常数） 原方程通解为 此外方程还有解y=0. 5. 解：令 则原方程可化为 得， 由得 所以 故原方程的通解为（为任意常数）。 　　　　　　三、求初值问题： （10分） R：1，1 的解的存在区间，并求解第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计。（10分） 解： 因为 M=max{}=4 则h=min(a,)= 则解的存在区间为== 又 则误差估计为：。 　　　　　　四、证明题 （10+12=22分） 1. 设及连续,试证方程为线性方程的充要条件是它有仅依赖于的积分因子. 证:必要性，若该方程为线性方程,则有 , 此方程有积分因子, 只与有关. 充分性，若该方程有只与有，则满足 ， 即，于是，积分得，是关于x的任意可微函数。原方程可写为 。 即方程为一阶线性方程. 2.构造Picard逐步逼近函数序列如下 ， 其中在上连续且关于满足利普希茨条件，证明函数序列在上是一致收敛的。 得　分 得　分 得　分 得　分