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不等式基础知识 一、不等式的概念 1．不等式的定义 不等式：用不等号连接两个解析式所得的式子，叫不等式． 不等式组：含有相同未知数的几个不等式组成的式子，叫不等式组． 2．不等式的分类 （1）按所用不等号分：严格不等式（简单命题）、不严格不等式（复合命题）． （2）按变量取值范围分：绝对不等式、条件不等式、矛盾不等式． （3）按变量的数量分：一元不等式、二元不等式、多元不等式． （4）按解析式的类型分： 3．不等式的相互关系 （1）由不等号方向看：同向不等式、异向不等式． （2）由变量范围看：同解不等式、等价不等式． （3）由形式关系看：同构不等式、不同构不等式． 二、实数运算的性质（符号法则） 实数运算的符号法则是构建不等式理论的基石，其顺序为： 实数运算的符号法则→不等式的性质→不等式性质的应用． 实数运算的符号法则：正数大于负数，零小于正数，零大于负数． 1．,． 2．． 3．,． 4．． 5．． 三、不等式的性质 1．三歧性： 对于任意两个实数a与b，在三种情况中仅有一种成立． 2．对称性： ． 3．传递性： 等号是否传到底？ 4．可加性： ； （移项法则、作差原理）． 5．加法法则： （同向特征，可推广）． 6．可乘性： （若，则）； （若，则）． 7．倒数法则：（1） (若，则)； （2） (若，则)； （3）． 8．乘法法则： （可推广）． 9．乘方法则：．（乘法法则的特例） （）． 10．开方法则：． 11．均值定理：（1）（当且仅当a、b相等时取等号）（可推广）； （2）（当且仅当a、b相等时取等号） （几何意义：半径不小于半弦．）； （3）（当且仅当a、b相等时取等号）； （4） （当且仅当a、b相等时取等号）； （调和平均数几何平均数算术平均数幂平均数）； （5）（一正二定三相等）； （6） （一正二定三相等）． 12．真分数性质： （浓度不等式）． 注：不等式的性质可分为单向性质和双向性质两类．在解不等式时，只能用双向性质；在证明不等式时，既可用单向性质，也可用双向性质． 附：化归方法在不等式中的具体运用：（1）异向化同向；（2）负数化正数；（3）减式化加式；（4）除式化乘式；（5）多项化少项；（6）高次化低次． 四、不等式的证明 证明不等式就是利用不等式的性质等知识，证明所给不等式在给定条件下恒成立．不等式形式的多样性导致其证明方法的灵活性，具体问题具体分析是证明不等式的准则．具体证明方法有如下几种： 1．作差比较法 原理：符号法则． 步骤：作差变形（配方、通分、分解、有理化、配方等）定号判断． 2．作商比较法 原理：符号法则． 步骤：作商（注意前提）变形（指数运算）定号判断． 3．分析法 原理：． 步骤：执果索因，从“未知”找“需知”，逐步靠拢“已知”． 特点：利于思考，方向明确，思路自然．（刑警办案、剥笋） 格式：欲证……（#）， （因为……，所以）只需证……， …… （因为……，所以）只需证……（*）， 而（*）显然成立， 所以（#） 4．综合法 原理：． 步骤：由因导果，从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”． 特点：条理清楚，经验丰富，传统自然．（法官定罪、包装） 注：（1）证明时，如果首先假定所要证明的不等式成立，逐步推出一个已知成立的不等式，只要推出过程的每一步都是可逆的，那么就可以断定所给的不等式成立，这也是分析法，其逻辑原理为：． （2）用分析法时要正确使用连接有关分析推理步骤的关键词，如“欲证……，只需 证……”、“即……”、“假定……成立，则……”等．并且，必须有对最后找到 的，使求证结论成立的充分条件正确性的判断，否则其步骤因不完善而错误． （3）由条件或一些基本性质入手、较易的不等式，以及条件较多的不等式，多可用综合法证明．而对于条件简单而结论复杂的不等式，以及恒成立的不等式，运用分析法证明更为有效．分析法和综合法之间是互为前提、互相渗透、互相转化的辨证统一关系，分析法的终点是综合法的起点，综合法的终点是综分析法的起点．对于复杂问题的证明，常用分析法探索证明途径，然后用综合法加以整理，甚至需交替使用这两种方法，事实上，这两种方法往往也很难区分开． （4）证明不等式的方法还有反证法、判别式法、换元法、构造法、数学归纳法、导数法、放缩法（把不等式的一边适当放大或缩小，利用不等式的传递性进行证明不等式的方法，叫放缩法．其常用方法有：舍去一些项、在积中换大（小）某些项、扩大（缩小）分式的分母（分子）等）等． 分析法只是一种重要的探求方式，而不是一种好的书写形式，因为它叙述较繁，如果把“只需证……”去掉不写，就成了错误。而用综合法书写的形式，掩盖了分析、探索的过程。如果直接写，而不用分析法，人们会感到看得明白，自己却做不出。因此