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用matlab求解常微分方程 ? 在MATLAB中，由函数dsolve()解决常微分方程（组）的求解问题，其具体格式如下： r = dsolve(eq1,eq2,..., cond1,cond2,..., v) eq1,eq2,...为微分方程或微分方程组，cond1,cond2,...,是初始条件或边界条件，v是独立变量，默认的独立变量是t。 函数dsolve用来解符号常微分方程、方程组，如果没有初始条件，则求出通解，如果有初始条件，则求出特解。 例1：求解常微分方程的MATLAB程序为：dsolve(Dy=1/(x+y),x) ， 注意，系统缺省的自变量为t，因此这里要把自变量写明。 其中：Y=lambertw(X)表示函数关系Y*exp(Y)=X。 例2：求解常微分方程的MATLAB程序为： Y2=dsolve(y*D2y-Dy^2=0,x) Y2=dsolve(D2y*y-Dy^2=0,x) 我们看到有两个解，其中一个是常数0。 例3：求常微分方程组通解的MATLAB程序为： [X,Y]=dsolve(Dx+5*x+y=exp(t),Dy-x-3*y=exp(2*t),t) 例4：求常微分方程组通解的MATLAB程序为： [X,Y]=dsolve(Dx+2*x-Dy=10*cos(t),Dx+Dy+2*y=4*exp(-2*t),x(0)=2,y(0)=0,t) 以上这些都是常微分方程的精确解法，也称为常微分方程的符号解。但是，我们知道，有大量的常微分方程虽然从理论上讲，其解是存在的，但我们却无法求出其解析解，此时，我们需要寻求方程的数值解，在求常微分方程数值解方面，MATLAB具有丰富的函数，我们将其统称为solver，其一般格式为： [T,Y]=solver(odefun,tspan,y0) 该函数表示在区间tspan=[t0,tf]上，用初始条件y0求解显式常微分方程。 solver为命令ode45，ode23，ode113，ode15s，ode23s，ode23t，ode23tb之一，这些命令各有特点。我们列表说明如下： 求解器特点说明ode45一步算法，4,5阶Runge-Kutta 方法累积截断误差大部分场合的首选算法ode23一步算法，2,3阶Runge-Kutta 方法累积截断误差使用于精度较低的情形ode113多步法，Adams算法，高低精度均可达到计算时间比ode45短ode23t采用梯形算法适度刚性情形ode15s多步法，Gear’s反向 数值积分，精度中等若ode45失效时?? 可尝试使用ode23s一步法，2阶Rosebrock算法， 低精度。当精度较低时， 计算时间比ode15s短odefun为显式常微分方程中的 tspan为求解区间，要获得问题在其他指定点上的解，则令（要求单调递增或递减），y0初始条件。 例5：求解常微分方程，，的MATLAB程序如下： y=dsolve(Dy=-2*y+2*x^2+2*x,y(0)=1,x) x=0:0.01:0.5; yy=subs(y,x); fun=inline(-2*y+2*x*x+2*x);[x,y]=ode15s(fun,[0:0.01:0.5],1);ys=x.*x+exp(-2*x); plot(x,y,r,x,ys,b) 例6：求解常微分方程的解，并画出解的图形。 分析：这是一个二阶非线性方程(函数以及所有偏导数军委一次幂的是现性方程，高于一次的为非线性方程)，用现成的方法均不能求解，但我们可以通过下面的变换，将二阶方程化为一阶方程组，即可求解。 令：，，，则得到： 解： function [dfy]=mytt(t,fy) %f1=y;f2=dy/dt %求二阶非线性微分方程时，把一阶、二阶直到(n-1)阶导数用另外一个函数代替 %用ode45命令时，必须表示成Y=f(t,Y)的形式 %Y=[y1;y2;y3],Y=[y1;y2;y3]=[y2;y3;f(y1,y2,y3)], %其中y1=y,y2=y,y3=y %更高阶时类似 dfy=[fy(2);7*(1-fy(1)^2)*fy(2)-fy(1)]; clear;clc [t,yy]=ode45(mytt,[0 40],[1;0]); plot(t,yy) legend(y,dy) ?【例4.14.2.1-1】采用ODE解算指令研究围绕地球旋转的卫星轨道。 （1）问题的形成 轨道上的卫星，在牛顿第二定律，和万有引力定律作用下有 ，引力常数G=6.672*10-11(N.m2/kg2) ,ME=5.97*1024(kg)是地球的质量。假定卫星以初速度vy(0)=4000m/s在x