K《线性代数》复习题.docVIP

第  PAGE 6 页，共  NUMPAGES 6页 1. 设A为四阶方阵，且满足A2=A，则秩r(A)+ 秩r(A-E)=( A ); A．4； B. 3； C. 2； D. 1 2. 已知是齐次方程组Ax=0的基础解系，那么下列向量中Ax=0的解向量是（ B ） A．； B．； C．； D． 3. 设矩阵A=，矩阵B满足AB+B+A+2E=0，则=（ D ）。 A．-6； B．6； C．； D．- 4. 设, 则有（ C ）。 A．； B．； C．； D． 5. 与二次型的矩阵A即合同又相似的矩阵是（ B ）。 A．； B．； C．； D． 6. 设矩阵，A*是A的伴随矩阵，若r（A*）-1，则a=( D )。 A．3； B． 2； C． 2； D．1或3 1. = 24 。 2. 设A是n阶矩阵，满足A5＝O，责E-A可逆，且=_ 3. 四元齐次线性方程组的基础解系是 （0,1,0,0）T,（-2,0,3,1）T；。 4. 设A是三阶实对称矩阵，满足，保证kE+A是正定阵，则k的取值范围是 k﹥2； 。 已知a是3维列量，aT是a的转置，若矩阵aaT相似于，则aTa= 6 。 6. 若二次型是正定的，则a的取值范围是 a﹥ 。 7. 已知3阶矩阵A的特征值为1? 2? ?3? 则|A*?3A?2E|=_____25_____________。 设? 求A? 解 是初等矩阵E(1? 2)? 其逆矩阵就是其本身 是初等矩阵E(1? 2(1))? 其逆矩阵是 E(1? 2(?1)) ? 设向量组(a? 3? 1)T? (2? b? 3)T? (1? 2? 1)T? (2? 3? 1)T的秩为2? 求a? b? 解 设a1?(a? 3? 1)T? a2?(2? b? 3)T? a3?(1? 2? 1)T? a4?(2? 3? 1)T 因为 ? 而R(a1? a2? a3? a4)?2? 所以a?2? b?5? 3. 在R4中取两个基 e1?(1?0?0?0)T? e2?(0?1?0?0)T? e3?(0?0?1?0)T? e4?(0?0?0?1)T? ?1?(2?1??1?1)T? ?2?(0?3?1?0)T? ?3?(5?3?2?1)T? ?3?(6?6?1?3)T? (1)求由前一个基到后一个基的过渡矩阵; (2)求向量(x1? x2? x3? x4)T在后一个基下的坐标; (3)求在两个基下有相同坐标的向量. 解 由题意知 ? 从而由前一个基到后一个基的过渡矩阵为 ? (2)求向量(x1? x2? x3? x4)T在后一个基下的坐标; 解 因为 ? 向量?在后一个基下的坐标为 . (3)求在两个基下有相同坐标的向量. 解 令 ,解方程组得(k为常数) 4. 已知线性方程组问当为何值时，(1)有??一解；(2)无解； (3)有无穷多个解，并在有无穷多解时，求其通解。 解：对增广矩阵作初等行变换， 当，且，即且时， ，方程组有惟一解； (2) 当时，，方程组无解； (3) 当时，，方程组有无穷多个解， 通解为，为任意常数。 5. 设二次型，若正交变换 可将f化为标准形，(1) 求a，b的值；(2) 求正交矩阵U。 解：二次型的矩阵为， (1) 因为正交变换可将f化为标准形，所以矩阵A的特征值为， 由得， 由，得； (2) 当时，对应特征值，解方程组，可得， 对应特征值2，解方程组，可得， 对应特征值，解方程组，可得， 因此，所求的正交矩阵为. 6. 取两个基 ,,；，试求坐标变换公式。 解 设， ，． 其中，， , 坐标变换公式， 现求; ．所以坐标变换公式为． 7. 已知实二次型， （1）写出的矩阵； （2）求的秩； （3）求正交变换（必须写出正交变换矩阵P），把化为标准形。 (1) 的矩阵 ； （2）因 ，,所以的秩为2； （3）由 ，得A的特征值为，。 当时，解方程，由=～，得基础解系； 当时，解方程，由=～，得基础解系 ； 把单位化，得，