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设某地区的风速服从，密度函数为 ， 试按频率估计概率的原理(?)，在，n=5求百年一遇的最大风速值（即大于的概率为1%）. 解 由已知易求得的特征函数为. 设为样本，则的特征函数为. 现记, 则的特征函数为.由此可知，服从自由度为的分布. 由题意知，欲求值，使得 ,即. 由知, 从而 . 对任一地区，地震的震级数与其发生的次数n之间有经验公式，试按频率估计概率原理，求震级的分布函数. 解 由题意知震级小于的频率为 用频率估计概率原理，震级小于的概率为可用上式估计 从而的分布函数为 . 设总体服从正态 今观察了二十次，只记录是否为负值，若事件“”出现了十四次，试按频率估计概率的原理，求估计值的估计值. 解 设，则.于是. 由知，从而. 设总体的密度函数为，为其样本，求参数的极大似然估计量. （1）； （2） （3） （4） 解 （1）我们知道，的似然函数为 ， 取对数得，. 将按从小到大的顺序排列，记作，则有 当时, 因为在处取最大值, 所以. 当时, 因为在满足的一切处都取最大值, 所以满足的一切都是的极大似然估计. 5、设总体服从二项分布，为正整数，为其样本，求及的矩法估计量. 解 由二项分布可知，. 由方程组 解得 . 6、设总体服从对数正态分布，密度函数为 ， 为其样本，求及的矩法估计量. 解 由已知得，. 则矩估计方程组为. 令，则方程组变成 显然 ，由此解得，即， 从而解得 . 7、设为电子元件的失效时间（单位：小时），其密度函数为 (即随机变量具有在左边截头的，参数为的指数分布). 假定n个元件独立地试验并记录其失效时间分别为. （1）当为已知时，求的极大似然法估计量； （2）当已知时，求的极大似然法估计. 解 （1）的似然函数为 ， 取对数得 . 令，解得 . (2) 的似然函数为 , 取对数得,?显然要使最大，只须最小. 取， 8、设总体服从正态 为其样本. (1) 求k，使为的无偏估计量； （2）求k，使为的无偏估计量. 解 （1）. 令，则 . 从而 . 故当时，，这时为的无偏估计量. (2) . 当时，,这时为的无偏估计量. 9、设总体的数学期望为，方差为，是它的样本，为的任一线性无偏估计量. 证明其样本平均与的相关系数为. 证明 相关系数, 故要证其样本平均与的相关系数为.只需证 . 由于是线性无偏估计量，故可令 ，. . 而 . 于是 . 从而知 . 所以 . 10、设总体服从正态 ，为其样本，试证下述三个估计量 （1）； （2）； （3） 都是的无偏估计量，请问哪一个方差最小. 11、设总体的数学期望为，及分别为参数的两个无偏估计量，它们的方差分别为及，相关系数为，试确定常数，使得有最小方差. 解 . 令，有 解得 从而 为保证，要求. 12、设总体服从正态 总体服从正态?为总体的样本，为总体的样本，且这两个样本相互独立. (1) 试求的无偏估计量； （2）如果固定，问及如何配置，可使的方差达到最小. 解：(1) , 从而可作为的无偏估计量. (2)由于, 于是问题变为当固定, 如何配置及, 使得最小. 14、设总体的密度函数为 为其样本.?试证及都是参数的无偏估计量，问哪个有效？ 解 我们知道 ，. 由已知得, 从而知, 所以 . . 故及均是参数的无偏估计. 又 故. . 从而. 因此, 从而更有效. 15、设及是参数的两个独立的无偏估计量，且的方差为的方差的两倍，试确定常数及，使得为参数的无偏估计量，并且在所有这样的线性估