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水木艾迪07考研数学考前能力自测试题一数学（三）试题
水木艾迪考研辅导教学与命题研究中心
清华大学数学系教授 刘坤林 俞正光 谭泽光 葛余博 叶俊 章纪民
水木艾迪 07 考研数学考前能力自测试题一
数学(三)试题
水木艾迪考研辅导教学与命题研究中心
二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分，把答案填在题中横线上）
（11）方程 ′′ ? = sin xyy 的通解为 。
【解】 方程 ′′ ? = sin xyy 对应的齐次方程 ′′ ? yy = 0 的通解为
x ?x
+= 21 eCeCY 。
设方程 ′′ =? sin xyy 的特解为 * += sincos xBxAy ，
1 1
代入得 ,0 BA ?== ，故 y* ?= sin x ???从而 ′′ ? = sin xyy 的通解为
2 2
1
x eCeCy ?x ?+= sin x 。
21 2
3
由 = yy ′ )0(,0)0( = ，得 = CC = ?1,1 ，故所求初值问题的解为
2 21
1
eey ?xx ??= sin x 。
2
1 1
（12）设参数 t ，差分方程 )2( ktykyky =++?+ 0)()1( 的通解为)( = aky ，则
16 2 k
当 t 的取值范围是 时，有 ak = 0lim 。
k ∞→
1 1 1 1
?± 4 4tit ?±
2 1 2 4 2 4
[解] 特征方程为 λλ t =+? 0 ，特征根为 λ = =
2 2,1 2 2
k k
)( k +== CCaky λλ 2211 ，当 λ1 1且 λ2 1时有 ak = 0lim 。
k ∞→
2 1 1 1 1
λ [ 4( )]
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