基金项目安徽省高校自然科学研究重点项目（KJ2016A.PDFVIP

基金项目：安徽省高校自然科学研究重点项目(KJ2016A055)，国家自然科学基金资助项目 作者简介：葛仁余*（1969-），汉族，男，安徽合肥人，博士/副教授，TelEmail：gerenyu@ 张金轮（1984-），汉族，男，安徽合肥人，博士研究生/讲师 2 功能梯度变截面梁自由振动和稳定性研究 葛仁余 1，张金轮 1，韩有民 1，索小永 1，牛忠荣 2 (1 安徽工程大学力学重点实验室，安徽 芜湖，241000) (2 合肥工业大学土木与水利工程学院，安徽 合肥，230009) 摘要：基于忽略了梁截面剪切变形和转动惯量的效应的Euler-Bernoulli 梁理论，文章研究了轴向力作用下轴向功能梯度变 截面梁的横向自由振动问题，将轴向功能梯度Euler-Bernoulli 梁自由振动固有频率和临界荷载的计算转化为变系数常微分 方程特征值问题。运用插值矩阵法可一次性地计算出轴向功能梯度变截面梁各阶振动固有频率和临界荷载，同时分析了 轴向荷载对轴向功能梯度Euler-Bernoulli 梁自由振动固有频率的影响，数值计算结果与现有结果对比表明了本文方法的有 效性和良好的计算精度。 关键词：变截面梁，横向振动，固有频率，插值矩阵法，功能梯度材料 中图分类号：O326 1 引言 随着科学技术的发展的需要，普通的各向同性材料不再有效适用工程结构设计的需要，因此发展具 有特殊力学性能的新材料势在必行，功能梯度材料是这类新材料中的一种，基于功能梯度材料一些独特 的力学、热学性能越来越引起一些学者和工程技术人员的关注[1]。纵观国内外关于功能梯度材料方面的 研究，大部分文献是关于功能梯度板和壳的研究，而关于功能梯度梁的研究却很少研究，且材料性能沿 厚度方向梯度变化的功能梯度梁比轴向功能梯???梁自由振动的研究要多得多[2-4]，文献[5]运用半逆方法 分析了轴向功能梯度梁的自由振动问题，文献[6]研究梁的稳定性问题时将非均质锥形变截面梁看作成许 多小的均质梁组合，通过求解一组超越方程从而确定梁的临界荷载。文献[7]将轴向功能梯度变截面梁自 由振动控制微分方程转化为 Fredholm 积分方程，从而计算出梁自由振动固有频率；文献[8]用有限元方 法研究了轴向功能梯度梁的自由振动和稳定性问题。轴向功能梯度变截面梁自由振动问题研究的复杂性 是由于振动控制方程是一组变系数微分方程，只有一些特殊情况才能获得结构振动问题的解析解[9]，因 此，数值方法用来分析轴向功能梯度变截面梁的自由振动问题成为振动研究的主要手段[10-11]。 本文提出采用插值矩阵法(IMM)[12]研究受轴向力作用的轴向功能梯度 Euler-Bernoulli 梁自由振动的 一个新途径。基于 Euler-Bernoulli 梁理论建立了轴向功能梯度梁自由振动方程，将受轴向力作用的轴向 功能梯度 Euler-Bernoulli 梁自由振动固有频率和临界荷载的计算转化为若干个变系数常微分方程的特征 值问题求解，运用插值矩阵法求解常微分方程组可获得功能梯度梁自由振动固有频率和临界荷载，并分 析了轴向力对轴向功能梯度梁自由振动固有频率的影响。 2 计算模型 考虑一长度为 l 且材料性能和截面面积沿轴向 x 任意连续变化的 Euler-Bernoulli 梁，发生自由振动 时，其挠度设为 w( x , t ) 。假设材料的弹性模量为 Ex()，材料的密