可積分系の差分化と数値計算アルゴリズム (oshimasa Nkamura) 数解析研究所講究録 巻年.pdfVIP

数理解析研究所講究録 1005 巻 1997 年 132-148 132 離散時間可積分系と数値計算法 大阪大学基礎工学研究科 中村佳正 (Yoshimasa Nakamura) 1 可積分系の差分化と数値計算アルゴリズム 近年の可積分系研究の動向の中で特筆すべきは応用数学応用数理的側画の進展であろ う. とりわけ, 最適化アルゴリズム, 固有値計算法, 加速法などの数値計算法と可積分系 との密接なかかわりの認識を足掛かりとして新しい研究領域が形成されつつある. そこで は, 可積分系が単なる非線形微分方程式の解法ではな $\langle$ , 連続離散を問わず何らかの量 を厳密かつ具体的に計算するための数理的方法論となっている. 本論では可積分系の数値計算法への応用, 特に, 可積分系の差分化によるアルゴリズム 開発について著者とその周辺による必威体育精装版の研究成果を解説する. 問題の設定を明らかにす るために, 可積分系と応用数学のもう -つの接点, 可積分系の差分法について少し詳しく 触れることとする. また, 可積分系と数値計算法の出合いはソリトン理論の成立より古く, 今から 40 年以上も前にさかのぼることを例示する. 差分法についてよく知られた注意 (cf. [7]) をここでも導入とする. 連続時間 $0\leq t\infty$ $t$ に依存する変数 $r(t)$ の差分化を $r_{n},$ $n=0,1,2,$ $\cdots$ , とかく. ここに, と $n$ は差分間隔 $\epsilon0$ を用いて互いに $t=n\epsilon$ の関係にあるとする. 従って, rn は $r(t)=r.(n\epsilon)$ の差分近似を表す. まず例として線形方程式の Euler 前進差分を取り上げよう. この差分法によって微分方 程式 (連続系) $\frac{dr(t)}{di}=r(t)$ は差分化されて差分方程式 (差分系) $r_{n+1}-r_{n}=\epsilon r_{n}$ となるが, 逆に, 差分系は $\epsilonarrow 0$ なる極限操作によってもとの連続系にもどる. この差分系は $1+\epsilon$ を公比とする等比数列の漸化式であるからその–般項 (差分系の解) は容易にわかり $r_{n}=r_{0}(1+\epsilon)^{n}$ である. $(1+\epsilon)^{n}=(1+\epsilon)^{t/\epsilon}$ は指数関数 $e^{t}$ の差分近似と なっている. $\lim_{\epsilonarrow 0}(1+\epsilon)^{1/\mathcal{E}}=e$ に注意せよ. ゆえに, 線形方程式の Euler 差分は, 解 のレベルにおいても, 任意の初期値 $r(\mathrm{O})$ と任意に大きな差分間隔 $\epsilon$ について連続系の解 $r(t)=r(0)e^{t