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关于旋转体侧面积的研究 张鹏飞张鹏飞，1992年6月出生，现为北京航空航天大学，飞行器设计与工程专业的学生； 李振之李振之，1992年2月出生，现为北京航空航天大学，飞行器设计与工程专业的学生； 樊东坡樊东坡?，1992年9月出生，现为北京航空航天大学，飞行器设计与工程专业的学生； 北京航空航天大学，航空科学与工程学院，北京，100191 薛玉梅薛玉梅，1968年7月出生，博士，副教授，北京航空航天大学数学学院；研究方向为：动力系统与分形及相关领域。 北京航空航天大学数学与系统科学学院，数学、信息、行为教育部重点实验室，北京，100191 摘要： 本文是研究关于旋转体侧面积的求法，从最基本的数学知识入手，采用类推的数学思想，从最普通的问题逐步推进、深化，将比较复杂的研究课题转化为很简单的问题，从而解决问题. 关键词： 旋转、定积分、面积、 微分、 类推 中图分类号：O172 文献识别码：A 一、引言 应用定积分来计算平面曲线围成的面积、空间物体的体积、曲线的长度、曲面的面积以及在物理学中的若干应用时，采用微元法. 类似地，我们也用微元法来求解旋转体的侧面积.本文我们从最基本的数学知识入手，采用类推的数学思想，从最普通的问题逐步推进、深化，将比较复杂的研究课题转化为很简单的问题，从而解决问题. 二、用微元法解决问题时所求的物理量要具备的条件和步骤 用微元法解决问题时所求的物理量必须满足以下条件： 1. 是与一个变量的变化区间有关的量； 2. 对于区间具有可加性, 就是说, 如果把区间分成许多部分区间,则相应地分成许多部分量,而等于所有部分量之和; 用微元法解决问题时需要以下三个步骤： 选定待求量与自变量确定自变量的变化区间. 任意选定分割区间代表，则 其中称为关于物理量的微元。 为被积表达式，所求的物理量为 三、求解旋转体的侧面积 1.曲线分别绕轴旋转一周得到的曲面的侧面积 （1）现求曲线绕轴旋转一周得到的曲面的面积，这 里假设函数有连续的导数（见图1）。 将曲面的面积在区间上分割： 这就把原图形的面积分成了一个个圆台面积，圆台面积已知为： 当分割足够细时，求母线的长时，可近似看成三角形来求之，因此有 于是面积微元为： 因此我们有 （2） 类似地，将曲线绕轴旋转一周得到的曲面的侧面积为 图1 2. 曲线绕着斜线旋转所得旋转体的侧面积 (1) 直线沿着斜线旋转的情况（见图2）. 假设直线在点之间的一段线段，研究图1 中阴影面积以及这段线段绕直线旋转一周侧面的面积. 图2 如图2,建立直角坐标系,将坐标系中的坐标转化为中的坐标， 即寻找 由图2中三角形可得： 其中 则有 同理可得， 如图2, 在坐标系中，因为都垂直于所以所 在直线斜率为 又设直线的方程为： 且该直线与轴交点为 直线的方程为： 且该直线与轴交点为 由于直线过点，则有 -----------------------------------（1） 由于直线过点，则有 -------------------------------------（2） 由上面（1）与(2)两式相减，并整理得 再设则 因此，阴影部分的面积为 于是线段沿旋转一周的侧面积 图3 1 m 又因为（如图3）， , 则 上题中，巧妙地将一个坐标系的点转化为另一个坐标系中的点，从而将直线沿斜线旋转的问题转化为直线绕轴旋转的问题，使问题简单化，易于求解。 这就为后面更复杂的曲线绕斜线旋转的问题找到一个简化的方法，使看似无法解决的问题变成我们已经熟练掌握的例题，如： （2）假设为曲线在点之间的一段弧长（该弧段与平行于轴的直线只有一个交点），表示一条直线。研究图4中阴影的面积及这段弧长绕直线旋转一周所得的曲面的面积。 图4 类似于上题，建立直角坐标系将坐标系中的坐标转化为中的 坐标，即得到 由上题可知： 其中， , 且由于 则