习题 线性代数课后答案 胡显佑.docVIP

习题二 （A） 4． 解: 1) 2) 上式表明:三个在2003年,2004年生产四种油品的总产量. 上式表明：三厂在2004年生产的四种与2003年相比的增加量. 3) 上式表明三厂在2003年、2004年生产四种油品的平均产量. 7．求所有与A可交换的矩阵： （1）； （2）. 解：1) 设,则 XA=AX得 a =d b =0 2) 设,则 得 8．设矩阵A与B可交换.证明：（1）；（2）. 解：1) 2) 12解：1) 2) 总价值为1810,总重量为191.8,总体积为1956 13．设A为n阵对称矩阵，k为常数.试证kA仍为对称矩阵. 证明: 设,则 则kA为对称矩阵 14．（1）证明：对任意的m×n矩阵A，ATA和AAT都是对称矩阵. （2）证明；对任意的n阶矩阵A，A+AT为对称矩阵，而A-AT为反对称矩阵. 解：1) 证明: 都是对称矩阵 2) 为对称矩阵 则为对称矩阵 15．设A、B是同阶对称矩阵，则AB是对称矩阵的充分必要条件是AB=BA. 解： 17．设n阶矩阵A可逆，且detA=a，求，. 解： ∴ 18． 证明: 19．已知n阶阵A满足.求证：A可逆，并求A-1。 解： ∴ 20．解：1) 21．解： 22证明: ∴ 23． 解：1) 2) 24． 解：1) 2) 25．.解：1) 2) 3) 4) 26． 解：1) ∴ 27． 解：1) 2) 28． 解： 29． 解： ∴ ∴ 30． 解： ∴ （B） 3．设矩阵，求矩阵X，使得. 解：∵detA=70 ∴ 4． 解： ∴ 5．设A为n×1矩阵，矩阵.试证B为对称矩阵.如果A=(1，-1，2)T，求B. 解：证明 则B为对称矩阵 当A=(1，-1，2)T时 6．设A，B为同阶矩阵，且.证明A2+A当且仅当. 证明： 7． 解：1）设则 ＝tr(A)+tr(B) 2） 3） 4） 8．设A为实对称矩阵，且A2=O，则A=O. 证明：设其中，则 9．设A为奇数阶反对称矩阵，则. 解： 10．设A、B、C为同阶矩阵，且C为非奇异矩阵，满足.求证： 解： 11．已知A，B和A+B均为可逆矩阵，试证也可逆，并求其逆矩阵. 可逆 12．证明：如果A是非奇异对称矩阵，则A-1也是对称矩阵. 证明：∵ A-1也是对称矩阵. 13． 解： 1） 2）反证，若A可逆，则detA=detE-detaaT=1-detaaT=1-detaaT≠0 即detaaT≠1与条件矛盾。 14． 证明：1）A+B=AB A-E-（AB-B）=-E A-E+（E-A）B=-E A-E）（E-B）=-E (A-E)(E-B)=-E ∴A-E可逆 2）当时，由得 15．设A，B，C均为n阶矩阵，如果.求证. 解： 16．解：AXA+BXB=AXB+BXA+E AXA-AXB+BXB-BXA=E AX(A-B)+BX(B-A)=E AX-BX）（A-B）=E 17． 解： 18． 解： 19．解：1） 2）