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第九章 定积分 §1定积分概念 按定积分定义证明：. 证明：对于的任一分割，任取， 相应的积分和为 . 从而，可取为任何正数，只要，就有 . 根据定积分定义有. 通过对积分区间作等分分割，并取适当的点集，把定积分看作是对应的积分和的极限，来计算下列定积分： （1）;（2）; （3）;（4）. 解：（1）因在上连续，所以在上可积，对进行等分，其分割记为， 取为区间的右端点，，得 （2）同（1），有 （3）由在上连续知，在上可积，对进行等分， 记其分割为，则， 取为区间的右端点，,得 （4）同（3），取，得 （该题也可不采用等分分割.） §2 牛顿—莱布尼茨公式 计算下列定积分： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）. 解：（1）. （2）. （3）先用不定积分法求出的任一原函数，然后完成计算： . . （4）. （5）. （6）. （7）先求原函数，在求积分值： . （8）. 2.利用定积分求极限： （1）; （2）; （3）; （4）; 解：（1）把极限化为某一积分和的极限，以便用定积分来计算，为此作如下变形： . 这是函数在区间上的一个积分和的极限。 这里所取的是等分分割，,而恒为 小区间的右端点，, 所以有. （2）对所求极限作如下变形： 不难看出，其中的和式是函数在区间上的一个积分和，所以有 （3）将所求极限变形： 这里的和式是函数在区间上的一个积分和.于是有 （4）对所求极限进行变形： 其中的和式是在区间上的一个积分和. 这里所取的是等分分割，,为小区间 的左端点，. 故有 3.证明：若在上可积，在上连续，且除有限点外有，则有. 证：对作分割,使其包含等式不成立的有限个点为部分分点，在每个小区间上对使用拉格朗日中值定理，则分别存在,使得 在上式中令由在上可积，可得 故 §3可积条件 证明：若是增加若干分点后所得的分割，则. 证：设增加个分点得到，将个新分点同时添加到，和逐个添加到， 都同样得到，所以我们先证的情形. 在上添接一个新分点，它必落在的某一小区间内，而且将分为两个小区间，记为与。但的其他小区间仍旧是新分割所属的小区间，因此，比较与的各个被加项，它们之间的差别仅仅是前者中的一项换为后者中的两项。又因函数在子区间上的振幅总是大于其在大区间上的振幅，即是,.故 即. 一般地，对增加一个分点得到，就有 ， 故. 这里. 证明：若在上可积,,则在上也可积. 证：已知在上可积，故任给，存在对的某分割， 使得，在上增加两个分点,，得到一个新的分割， 则由上题结论知, 分割在上的部分，构成的一个分割，记为， 则有. 故由可积准则知，在上可积. 设,均为定义在上的有界函数.证明 若仅在中有限个点处，则当在上可积时，在上也可积，且. 证：设与在上的值仅在个点处不同， 记，.,由于在上可积， 存在，使当时，有. 令，则当时，有 当时,,所以上式中至多仅有项不为，故 这就证明在可积，且 . 设在上的有界,,.证明 若在上只有 为其间断点，则在上可积. 证：不妨设，在上的振幅为。，取， 因，所以存在，使当时，， 从而在 上至多只有有限个间断点， 由定理9.5知在上可积， 再由可积准则知，存在上的分割，使. 我们把与合并，就构成的一个分割，则 （这是为在上的振幅。）故由可积准则知，在上可积。 证明：若在上有界,则. 证：记,,若，则为常数，等式显然成立。 设，则，，故，有 另一方面，,有上、下确界的定义知，分别存在， 使, 故, 即. 从而由上确界定义知 . §4 定积分的性质 若与都在上可积，则, 其中,是所属小区间中的任意两点,. 证：因与在上可积，所以与在上有界， 且,在上可积。设，， 且。则对上的任意分割，有 任给，有及定积分定义知，， 使当时，有.又可积， 所以由教材6习题5的结论知，，使当时，. 令，则当时，有 . 故. 2. 不求出定积分的值，比较下列各对定积分的大小： （1）与;（2）与. 解：（1）因为在上，所以（见注） 注：利用：若在上连续，，且. （2）因在上（可用单调函数的知识证明），且除外处处有，所以与(1)类似，有. 3.证明下列不等式： （1）; （2）; （3）; （4）. 证：（1）因为，，函数 在上连续，且不恒等于1和，所以由积分不等式有 ， 即. （2）因为在上，，且函数不恒等于1和，所以有. （3）因为在上单调减少，，所以 . 即. （4）设，则，得在上唯一的驻点为， 可验证它是极大值点，而可导函数唯一的极大值必为最大值， 所以为函数在上的最大值。 又，， 且， 故为在上的最小值。 从而，由此得. 4．设在上连续，且不恒等于零，证明. 证：由不恒等于零知，存在