专题十 代数三角几何综合问题(含答案).docVIP

-  PAGE 12 - 第10讲 代数、三角、几何综合问题 代数、三角与几何综合题是较复杂与难度较大的问题，其中包括方程、函数、三角与几何等，内容基本上包含所有的初中数学知识，必须把以前的函数观念、方程思想、数形结合思想、转化与化归思想进行综合来解题． 典型例题精析 例1．（2005，徐州市）有一根直尺的短边长2cm，长边长10cm，还有一块锐角为45°的直角三角形纸板，它的斜边长12cm，如图1，将直尺的矩边DE放置与直角三角形纸板的斜边AB重合，且点D与点A重合，将直尺沿AB方向平移如图2，设平移的长度为xcm（0≤x≤10），直尺和三角形纸板的重叠部分（图中阴影部分）的面积为Scm2． （1）当x=0时（如图），S=________；当x=10时，S=___________； （2）当0x≤4时（如图2），求S关于x的函数关系式； （3）当4x10时，求S关于x的函数关系式，并求出S的最大值（同学可在图3、图4中画草图） 解析：（1）2；2． （2）在Rt△ADG中，∠A=45°， ∴DG=AD=x． 同理EF=AE=x+2， ∴S梯形DEGF=（x+x+2）×2=2x+2， ∴S=2x+2． （3）①当4x6时，（如图5） GD=AD=x，EF=EB=12-（x+2）=10-x， 则S△ADG=x2，S△BEF=（10-x）2， 而S△ABC=×12×6=36， ∴S=36-x2-（10-x）2=-x2+10x-14， S=-x2+10x-14=-（x-5）2+11， ∴当x=5（456）时，S最大值=11． ②当6≤x10时（如图6）， BD=BG=12-x，BE=EF=10-x， S=（12-x+10-x）×2=22-2x， S随x的增大而减小，所以S≤10． 由①、②可得，当4x10时，S最大值=11． 例2．如图所示，点O2是⊙O1上一点，⊙O2与⊙O1相交于A、D两点，BC⊥AD，垂足为D，分别交⊙O1、⊙O2于B、C两点，延长DO2交⊙O2于E，交BA的延长线于F，BO2交AD于G，连结AG． （1）求证：∠BGD=∠C； （2）若∠DO2C=45°，求证：AD=AF； （3）若BF=6CD，且线段BD、BF的长是关于x的方程x2-（4m+2）x+4m2+8=0的两个实数根，求BD、BF的长． 解析：（1）∵BC⊥AD于D， ∴∠BDA=∠CDA=90°， ∴AB、AC分别为⊙O1、⊙O2的直径． ∵∠2=∠3，∠BGD+∠2=90°，∠C+∠3=90°， ∴∠BGD=∠C． （2）∵∠DO2C=45°，∴∠ABD=45°，∵O2D=O2C， ∴∠C=∠O2DC=（180°-∠DO2C）=67.5°， ∴∠4=22.5°， ∵∠O2DC=∠ABD+∠F， ∴∠F=∠4=22.5°，∴AD=AF． （3）∵BF=6CD，∴设CD=k，则BF=6k． 连结AE，则AE⊥AD，∴AE∥BC， ∴ ∴AE·BF=BD·AF． 又∵在△AO2E和△DO2C中，AO2=DO2 ∠AO2E=∠DO2C， O2E=O2C， ∴△AO2E≌△DO2C，∴AE=CD=k， ∴6k2=BD·AF=（BC-CD）（BF-AB）． ∵∠BO2A=90°，O2A=O2C，∴BC=AB． ∴6k2=（BC-k）（6k-BC）．∴BC2-7kBC+12k2=0， 解得：BC=3k或BC=4k． 当BC=3k，BD=2k． ∵BD、BF的长是关于x的方程x2-（4m+2）x+4m2+8=0的两个实数根． ∴由根与系数的关系知：BD+BF=2k+6k=8k=4m+2． 整理，得：4m2-12m+29=0． ∵△=（-12）2-4×4×29=-3200，此方程无实数根． ∴BC=3k（舍）． 当BC=4k时，BD=3k． ∴3k+6k=4m+2，18k2=4m2+8，整理， 得：m2-8m+16=0， 解得：m1=m2=4， ∴原方程可化为x2-18x+72=0， 解得：x1=6，x2=12， ∴BD=6，BF=12． 中考样题训练 1．（2003，镇江）已知抛物线y=-x2+（k+1）x+3，当x1时，y随着x的增大而增大，当x1时，y随x的增大而减小． （1）求k的值及抛