55.1_5.2大数中心极限定理.pptVIP

第五章 极 限 定 理 初 步; 概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科. 随机现象的规律性只有在相同的条件下进行大量重复试验时才会呈现出来. 也就是说，要从随机现象中去寻求必然的法则，应该研究大量随机现象.; ;大 数 定 律; 大量的随机现象中平均结果的稳定性 ; 设X1,X2, …是独立同分布的随机变量 序列，且E(Xi)= ，D(Xi)= ， i=1,2,…, 其中方差有共同的上界，则对任给 0,;设{Xn}为随机变量序列，X为随机变量，若任给?0, 使得;a;证明:由切比雪夫不等式; 切比雪夫大数定律表明，独立随机变量序列{Xn}，如果方差有共同的上界，则; 下面给出的贝努里大数定律，是上述定理的一种特例.; 于是有下面的定理：; 贝努里大数定律提供了通过试验来确定事件概率的方法.;蒲丰投针问题中解法的 理论依据就是大数定律;下面给???的独立同分布下的大数定律，不要求随机变量的方差存在.; 辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值提供了一条实际可行的途径.; 例如要估计某地区的平均亩产量，只要收割某些有代表性的地块，例如n 块. 计算其平均亩产量，则当n 较大时，可用它作为整个地区平均亩产量的一个估计.; 大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质之一：;第 二 节; ; ; 观察表明，如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造成，而每一个别因素在总影响中所起的作用不大. 则这种量一般都服从或近似服从正态分布.; 现在我们就来研究独立随机变量之和所特有的规律性问题.; 由于无穷个随机变量之和可能趋于∞，故我们不研究n个随机变量之和本身而考虑它的标准化的随机变量;可见n越大越接近正态分布。; 在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正态分布这一类定理都叫做中心极限定理.;定理5.2.1（独立同分布下的中心极限定理）;~N(0,1);例1 根据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布. 现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的. 求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率.;由题给条件知,诸Xi独立,; 虽然在一般情况下，我们很难求出X1+X2+ …+Xn 的分布的确切形式，但当n很大时，可以求出近似分布.;定理5.2.2(德莫佛－拉普拉斯定理）;例2. (供电问题)某车间有200台车床,在生产期间由于需要检修、调换刀具、变换位置及调换工件等常需停车. 设开工率为0.6, 并设每台车床的工作是独立的，且在开工时需电力1千瓦.;用X表示在某时刻工作着的车床数，; ;查正态分布函数表得;例3 在一个罐子中,装有10个编号为0-9的同样的球，从罐中有放回地抽取若干次，每次抽一个，并记下号码.;(2) 至少应取球多少次才能使“0”出现的频率在0.09-0.11之间的概率至少是0.95?;近似N(0,1);欲使;即至少应取球18000次才能使“0”出现的频率在0.09-0.11之间的概率至少是0.95.;(3) 用中心极限定理计算在100次抽取中, 数码“0”出现次数在7和13之间的概率.;即在100次抽取中，数码“0”出现次数在 7和13之间的概率为0.6826.;不知大家是否还记得街头赌博的演示?;如图,钉板有n=16层，可以求出标准差 ;如图钉板有n=16层，可以求出标准差 ; 在后面的课程中，我们还将经常用到中心极限定理.;练习1.将一颗骰子连掷100次，则点数之和不少于500的概率是多少？;练习2 在一家保险公司里有10000个人参加寿命保险，每人每年付12元保险费。在一年内一个人死亡的概率为0.6%，死亡时其家属可向保险公司领得1000元，问： (1)保险公司亏本的概率有多大？ (2)其他条件不变，为使保险公司一年的利润不少于60000元，赔偿金至多可设为多少？;解 设X表示一年内死亡的人数，则X~B(n, p), 其中 n= 10000，p=0.6%， 设Y表示保险公司一年的利润， Y=10000?12-1000X 于是由中心极限定理 (1)P{Y0}=P{10000?12-1000X0} =1?P{X?120} ?1 ? ?(7.75)=0;;P{Y60000}=P{10000?12-aX60000} =P{X?60000/a}?0.9;