4向量组的线性相关性汇编.ppt

CH4 向量组的线性相关性 向量组的线性相关性 n维向量的概念 向量组的线性相关性 线性相关性的判别定理 向量组的秩 向量空间 §1 N维向量的概念 1、定义 ｎ维向量写成一行，称为行矩阵，也就是行向量， 如： 记作α,β,γ. ｎ维向量写成一列，称为列矩阵，也就是列向量， 一、ｎ维向量（Vector） 2、元素全为零的向量称为零向量（Null Vector）. 3、维数相同的列（行）向量同型. 元素是复数的向量称为复向量（Complex Vector）. 2、几种特殊向量 1、元素是实数的向量称为实向量（Real Vector）. 4、对应分量相等的向量相等. 二、向量的运算 1、加法 2、数乘 向量的加法与数乘合称为向量的线性运算. 3、运算律 (设α,β,γ均是ｎ维向量,λ，μ为实数) 三、应用举例 例1 设 求 解 线性方程组的向量表示 方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应． 即 或 向量组与矩阵的关系 其第ｊ个列向量记作 ｍ个ｎ维行向量. 按行分块 按列分块 ｎ个ｍ维列向量. 其第ｉ个行向量记作 矩阵与向量的关系中注意什么是向量的个数、什么是向量的维数，二者必须分清. §2 向量组的线性相关性 一、向量组的线性相关性定义 线性相关 线性无关 的一个线性组合 则称 为向量 定义 2 使得 一组实数 若存在 设n维向量 , , , , , , , , 2 1 2 1 m m k k k a a a L L 线性表示 或称 能由向量 , , , m a L a 1 2 a 16 定义3 ★ 如果向量组中有零向量,则向量组一定 线性相关. ★ 一个向量a=0线性相关,而 时线性无关 ★ 两个向量线性相关 它们对应分量成比例 17 i.e. 二、判别方法 1. 向量个数 未知数的个数 向量维数 方程的个数 (无) (没) (没) 18 19 2. 21 第i个分量 3. 22 从向量组中找尽量多的线性无关向量 例 2 解 例 3 证一 三、性质 28 整体无关 部分无关 部分相关 整体相关 30 定义 §4 向量组的秩 §4 向量组的秩 向量组等价 极大线性无关组与向量组的秩 向量组的秩与矩阵秩的关系 矩阵的秩与矩阵的运算 1.定义4 一、向量组等价 2.性质 1）自反性 2）对称性 3）传递性 具有以上性质的关系称为等价关系 1 定义7 二、极大线性无关组与向量组的秩 ＊ ＊ ＊ 三、向量组的秩与矩阵秩的关系 向量组与矩阵的关系 其第ｊ个列向量记作 ｍ个ｎ维行向量. 按行分块 按列分块 ｎ个ｍ维列向量. 其第ｉ个行向量记作 矩阵与向量的关系中注意什么是向量的个数、什么是向量的维数，二者必须分清. 证 证明 则相应的 解： 总结：求极大线性无关组及向量的线性表示的方法 方法1：矩阵的初等行变换法 （1）以向量组中的向量为列向量作矩阵 （2）对矩阵作初等行变换，化为行阶梯形（行最简形） （3）取每行第一个非零元所在的列，即为所求 方法2：录选法 （1）在向量组中选一个非零向量 （2）再选一个与 的对应分量不成比例的向量 （3）再选一个不能由 线性表出的向量 线性表出的向量 …… 四、矩阵的秩与矩阵的运算 例14. 练习. 证明: §5 向量空间 向量空间 概念 基与维数 向量的坐标 说明 一、向量空间的概念 定义1　设V 为 n 维向量的集合，如果集合V非空， 且集合V 对于加法及数乘两种运算封闭，那么就称 集合V 为向量空间． 例2 例1 例3 例4 练习1 练习2 例5 二、向量空间的基与维数 若V 的维数为r，记做dimV=r 只含有零向量的向量空间V称为0维向量空间，即dimV=0,它没有基． 说明 n-1维向量空间 解：