32向量组的线性相关性汇编.ppt

一、解的判定定理 二、方程组的求解 结束 回 顾 一、n 维向量的定义及线性运算 二、向量组的线性相关性的定义 三、向量组的线性相关性的判定 四、向量组的线性相关性的系列性质 第二节 向量组的线性相关性 一、n 维向量的定义及线性运算 1. n 维向量的定义 一维、二维、三维向量，推广到 n 维向量 n维向量 n个有次序的数a1? a2? ??? ? an所组成的数组 (a1? a2? ??? ? an ) 或 (a1? a2? ??? ? an )T 分别称为n维行向量或列向量。 向量通常用黑体小写希腊字母?、? 等表示。 显然，行向量即为行矩阵，列向量为列矩阵。 这n个数称为向量的n个分量? 第i个数ai称为第i个分量? 分量全为实数的向量称为实向量? 分量为复数的向量称为复向量? 行向量与列向量都按矩阵的运算规则进行运算? 特别地，向量的加法，向量的数乘，称为向量的线性运算。 向量的线性运算满足8个规则：》》》 全体的n维向量的集合关于线性运算是封闭的，我们将该集合称为n维向量空间（或线性空间）。 例如，全体3维向量的集合；闭区间上的连续函数的集合；一元n次多项式的集合；实数域上可导函数的集合等，皆为向量空间。 2.向量的线性运算 一个m?n矩阵对应一个m维列向量组? 也对应一个n维行向量组? ? ? 线性方程Am?nX?0的全体解当R(A)?n时是一个含无限多个n维列向量的向量组? 向量组 若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组成的集合叫做向量组? 1. 线性组合与线性表示 设 A? a1? a2? ???? am是一向量组? 表达式 k1a1?k2a2? ??? ?kmam? 称为向量组A的一个线性组合? 其中k1? k2? ???? km是一组实数? 称为这个线性组合的系数? 如果向量b是向量组A的线性组合 b??1a1??2a2? ??? ??mam? 则称向量b能由向量组A线性表示? 二、向量组的线性相关性的定义 例如，任一n维向量，都可以由n维基向量线性表示。 例1 判断向量b1?(4? 3? ?1? 11)T是否为向量组a1?(1? 2? ?1? 5)T? a2?(2? ?1? 1? 1)T的线性组合? 若是? 写出表示式? 考虑x1a1?x2a2?b1? 解 所以R(a1? a2? b1)?R(a1? ?2)? 从而方程组有解? 即b1可由a1? a2线性表示? 且存在x1?2? x2?1? 使2a1?a2?b1? 因为 定理1 向量b能由向量组A? a1? a2? ???? am线性表示的充分必要条件是矩阵A?(a1? a2? ???? am)与矩阵B?(a1? a2? ???? am? b)的秩相等? 即R(A)?R(B)? 此为非齐次线性方程组， 2.向量组线性相关的定义 定义1 向量组A? a1? a2? ???? am(m?2)线性相关?在向量组A中至少有一个向量能由其余m?1个向量线性表示? 定义2 给定向量组A? a1? a2? ???? am? k个数k1? k2? ???? km? 构造 k1a1?k2a2? ??? ?kmam?0? （*） 如果存在不全为零的数k1? k2? ???? km? 使（*）式成立，称向量组A是线性相关的? 否则称它线性无关? 这两个定义是等价的： 如果向量组A中有某个向量(不妨设am)能由其余m?1个向量线性表示? 即有?1? ?2? ???? ?m?1? 使 am??1a1??2a2? ??? ??m?1am?1? 于是 ?1a1??2a2? ??? ??m?1am?1?(?1)am?0? 因为?1? ?2? ???? ?m?1? ?1不全为0? 所以向量组A线性相关? 如果向量组A线性相关? 则有 k1a1?k2a2? ??? ?kmam?0? 其中k1? k2? ???? km不全为0? 不妨设k1?0? 于是 a1??(1/k1)(k2a2? ??? ?kmam)? 即a1能由a2? ???? am线性表示? 例2 设a1?