南开大学硕士研究生入学考试试题高等代数修正版.docVIP

博士家园 PAGE  PAGE 8 博士 家园 南开大学2005硕士研究生入学考试试题 考试科目：高等代数 注：本解答所需知识均参照高教社出版的由北大代数小组主编由王萼芳、石生明修订的《高等代数》！ 一、计算下列行列式 解： 由行列式性质， 显然，第二式为0，连续运用此性质得 二、设齐次线形方程组 的一般解以为自由未知量 求 a,b,c,d,e满足的条件 求齐次线形方程组的基础解系 解： 有自由变量数为2，可知，方程组系数矩阵的秩为2 即 的秩为2，又易得系数矩阵变形 故，可通过初等变换得到 即，,也即 (2)结合上面的讨论，易知基础解系为 三、（1）已知且，求X=? (2)已知，且矩阵方程有解，求a,b,X. 解： 令由B的第三列均为0知 不妨令 则有矩阵乘法法则，知 解得 同理， 即 （2）将看成两个方程组和， 其中， 显然有解，即与有相同的秩， 也即，在经过变形得到的矩阵中 有， 得 同理，中有 ，即， 对中有，基础解系 对有基础解系 综上，有. 四、设和均为实数域上n元二次型，且存在实数域上n阶方阵C和D使得， 证明：和具有相同的规范形 证明： 由 乘积的秩不超过各因子的秩，及得， ,及，从而， 不妨设，，若不妨设 则由，得， ，即， 记，其中， 则有， ，从而 对 得，等式右边 得到一个半正定矩阵，而左边为一负定矩阵.产生矛盾.从而 故,这样A与B有共同的秩,且具有相同的正惯性指数,即, A与B合同， 也即，它们合同于同一个形为 的对角矩阵.从而，它们具有相同的规范形.也即，和具有相同的规范形. 五、设?为数域.已知上两组向量组 试问是否存在上的线形变换?使 解：由题显然有，且线性无关，也线性无关. 故可添加一个向量，使得， 均线形无关 可以把作为一组基，则存在上的线性变换?使 , ，则由线性变换定义， 此线性变换满足 故存在上的线形变换?使 六、设V为数域?上n维线形空间，?为V上线形变换.已知试问是否存在V的一组基使在这组基下的矩阵为对角矩阵？ 解：不妨设存在这样的一组基，设为，?在这组基下的矩阵为A，且 由284页定理2及，知， 对前式，有 故，此时， ??而有，这与题意矛盾从而不存在V的一组基使在这组基下的矩阵为对角矩阵 七、设A为n阶正定实对称矩阵，为n维欧式空间（标准度量）中的n+1个向量.若已知 证明： 证明：定义一组基，满足欧式空间的所有条件，且满足内积条件，，是A中的元素，并且，设 由（2）， 从而，，两两正交，为一正交向量组，也有它们线形无关， 又,,从而β=0，问题得证. 八、设V为数域?上n维线形空间（n≥1）.证明：必存在V中一个无穷的向量序列使得中任何n个向量都是V的一组基. 证明： 采用构造法 取n维线形空间的一组基 取另一向量 则显然有从以上n+1向量中选出n个均可作为n维线形空间的一组基. 同样，依次取向量使得 这样得到一个无穷的向量序列. 下证，从中任选n个，它们均线形无关 从构造中易得， 从而不妨任选，. 令 得从而, …， （*） 又 可以证明，对角线上的元素均不为零，从而行列式不为零 也即，方程组（*）仅有平凡解，即 从而它们均线形无关，故问题得证.