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北京航空航天大学 2010年数学竞赛答案 一.填空题（本题共40分） 1. 设函数在区间内连续，对任意正数，有，且，则_______________ 2. 设 则__________________ 3. 已知在内可导，且，，则___________ 4. 计算广义积分_______________ 5. _____________ 6. 已知，，且在上有，则________ 7. 计算积分 _______________ 8. 设是八面体的表面，则_________ 9. 设函数，直线是直、线在平面上的投影，求在点沿直线的方向导数_______________(规定与轴正向夹角为锐角的方向为的方向) 10. 设由曲线与直线所围的均匀薄片(面密度为)绕过原点的任意直线的转动，则该转动惯量中的最小值为____________________ 二. (本题10分) 求p的值，使 解: 时 三、(本题10分) 设 , 试问中哪一个的变动对R影响最大? 解 两边取全微分 故 , , 由于 , 所以 因此的变动对R影响最大. 四、(本题10分)设 f(u) 为连续函数，L 为分段光滑的平面闭曲线，求 解:因 f(u) 为连续函数，故存在，且有 所以， 五、(本题10分) 已知, 求 解: (t = - x) = , , S(0)=0, , , 六、(本题10分) 设f(u) 在u=0 可导， f(0)=0, , 求 . 解: 应用求坐标计算三重积分，有 七、(本题10分) 求最小的实数C， 使得满足的连续函数都有. 解: 一方面 。 另一方面， 取 , 则, 而 因此最小的实数C=2。