江苏省苏州2011届高三调研测试[数学].docVIP

苏州市2011届高三调研测试 数 学 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上。 1.复数的共轭复数是 ▲ . 2.若双曲线的离心率为，则= ▲ . 3.样本数据的方差是 ▲ . 4.函数 的图象如图所示，则 ▲ . 5.已知集合,在中可重复的依次取出三个数 ，则“以为边恰好构成三角形”的概率是 ▲ . 6．设分别是的斜边上的两个三等分点，已知,则 ▲ . 7.设为两个不重合的平面，为两条不重合的直线，给出下列四个命题： ①若则∥； ②若则； ③若∥，∥，则； ④若与相交且不垂直，则与不垂直. 其中，所有真命题的序号是 ▲ . 8.已知，且， 则= ▲ . 9.右图是一个算法的流程图，最后输出的 ▲ . 10.已知圆与圆相交， 则实数的取值范围为 ▲ . 11.某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径， 满盘时直径，已知卫生纸的厚度为， 则满盘时卫生纸的总长度大约是 ▲ （取，精确到）. 12.已知数列满足,则数列 的前100项的和为 ▲ . 13.已知的三边长满足，则的取值范围为 ▲ . 14.在平面直角坐标系中，点是第一象限内曲线上的一个动点，点处的切线与两个坐标轴交于两点,则的面积的最小值为 ▲ . 二、解答题：本大题共六小题，共计90分. 15.（本小题满分14分） 在中，已知角的对边分别为且. ⑴求; ⑵若，求.（结果用根式表示） 16. （本小题满分14分） 正三棱柱中，已知, 为的中点，为与的交点. ⑴求证：平面; ⑵若点为的中点，求证：∥平面. 17. （本小题满分14分） 有一隧道既是交通拥挤地段，又是事故多发地段.为了保证安全，交通部门规定，隧道内的车距正比于车速的平方与车身长的积，且车距不得小于一个车身长（假设所有车身长均为）.而当车速为时，车距为1.44个车身长. ⑴求通过隧道的最低车速； ⑵在交通繁忙时，应规定怎样的车速，可以使隧道在单位时段内通过的汽车数量最多？ 18. （本小题满分16分） 如图，椭圆的左焦点为，上顶点为， 过点作直线的垂线分别交椭圆、轴于两点. ⑴若,求实数的值； ⑵设点为的外接圆上的任意一点， 当的面积最大时，求点的坐标. 19. （本小题满分16分） 设数列的前项的和为，已知. ⑴求,及； ⑵设若对一切均有，求实数的取值范围. 20. （本小题满分16分） 设函数. ⑴当时，判断函数的单调性，并加以证明； ⑵当时，求证：对一切恒成立； ⑶若，且为常数，求证：的极小值是一个与无关的常数. 加试题卷 21.（本小题满分10分） 在平面直角坐标系中，动点到定点的距离与定直线：的距离相等. ⑴求动点的轨迹的方程; ⑵过点作倾斜角为的直线交轨迹于点，求的面积. 22. （本小题满分10分） 一个口袋装有5个红球，3个白球，这些球除颜色外完全相同，某人一次从中摸出3个球，其中白球的个数为. ⑴求摸出的三个球中既有红球又有白球的概率； ⑵求的分布列及的数学期望. 23. （本小题满分10分） 如图，在棱长为3的正方体中，. ⑴求两条异面直线与所成角的余弦值； ⑵求直线与平面所成角的正弦值. 24．（本小题满分10分） 设，． ⑴当时，比较与的大小． ⑵根据⑴的结果猜测一个一般性结论，并加以证明． 【解答部分】 1. 【解析】 2. 【解析】 3.【解析】 4. 【解析】，， ， 5. 【解析】“在中可重复的依次取出三个数”的基本事件总数为，事件“以为边不能构成三角形”分别为所以 6. 【解析】 7. ①②【解析】③错误，相交或平行；④错误，与可以垂直，不妨令，则在内存在 8. 【解析】 9. 【解析】输出的 10. 【解析】由得该圆圆心坐标为，半径为，圆的圆心坐标在圆内，因此两圆相切的可能性只有两种：圆内切于圆此时圆内切于圆，此时所以. 11. 【解析】， 所以 12. 【解析】由得 则是周期数列， 13. 【解析】 通过求得可行域如图 因此可以看作是点到原点连线的斜率，。 14. 【解析】设切点为，则切线的斜率，切线方程为，，所以 15.【解析】（1）由条件，得. 所以 因为是三角形内角，所以 （2）由得 由正弦定理得 因为 所以 16.【解析】证明：（1）连结 因为,为的中点， 而, 所以. 又因为是正方形对角线的交点， 所以 又因为 所以平面. (2)取的中点， 在中，因为是的中点， 所以，且 又因为是的中点，所以，且 所以四边形是平行四边形，所以 又因为平面，平面, 所以∥平面. 17.【解析】（1）依题意，设，其中是待定系数， 因为当时， 所以，， 所以 因为，所以， 所以最低车速为 (2)因为两车间距为，则