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高一数学期末复习——必修4第2章　平面向量 姓名 　　 班级 　　 一．向量有关概念： （P75）1．向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。 向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。 （P75）2．零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的； （P75）3．单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量 （P76）4．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； （P76）5．平行向量（也叫共线向量）：　　　　　　　　的非零向量、叫做平行向量，记作：∥，规定零向量和任何向量平行。 （P85）6．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。 （P94）7．两个向量的夹角：对于非零向量，，作，称为向量，的夹角。 当＝0时，，　　　　　　，当＝时，，反向，当＝时，，　　　　　　。 【例1】下列命题中正确的是：　　　　　　 （1）若，则 （2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同 （3）若，则 （4）若，则是平行四边形 （5）若，则 （6）若是平行四边形，则 二．向量的表示方法： （P75）1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后； （P75）2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，，等； （P95）3．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量，为基底，则平面内的任一向量可表示为，称为向量的坐标，＝叫做向量的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。 （P94）三．平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数、，使a=e1＋e2。 【例2】若，则　　　　　　(用，表示) 【例3】下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 A. B. C. D. 四．向量的运算 （一）几何运算 （P81）1．向量的加法：“平行四边形法则”只适用于不共线的向量；向量加法还可利用“三角形法则”：设，那么向量叫做与的和，即 （P85）2．向量的减法：用“三角形法则”：设，由减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同 【例4】化简：①　　　　　　； ②　　　　　　；　　　　　③　　　　　　 【例5】若正方形的边长为1，，则＝　　　　　　 （P87）3．向量的数乘运算：实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下： （1） （2）当0时，的方向与的方向相同，当0时，的方向与的方向相反，当＝0时， 4．向量的数量积 （P103）（1）定义：如果两个非零向量，，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积（或内积或点积），记作：，即＝。 规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量 【例6】，，向量，的夹角为150°，则　　　　　　 【例7】，，，则向量，的夹角为　　　　　　 【例8】△ABC中，，，，则　　　　　　 （P103）（2）在上的投影为，它是一个实数，但不一定大于0 【例9】已知，，向量，的夹角为150°则向量在向量上的投影为　　　　　　 （P104）（3）的几何意义：数量积等于的模与在上的投影的积 （P104）（4）向量数量积的性质：设两个非零向量，，其夹角为，则： 1； 2当，同向时，＝，特别地，；当与反向时，＝－；当为锐角时，＞0，且不同向，是为锐角的必要非充分条件；当为钝角时，＜0，且不反向，是为钝角的必要非充分条件； 3非零向量，夹角的计算公式：； 4 【例10】已知，，，则　　　　　　 【例12】已知，均为单位向量，，则　　　　　　，向量，的夹角为　　　　　　 【例13】已知是两个非零向量，且，则的夹角为　　　　　　 （二）坐标运算：设，则 （P96）1．向量的加减法：， （P96）2．向量的数乘运算： 【例14】已知，，，，则　　　　　　，　　　　　　， 　　　　　　 3．若，则，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标 【例15】已知平行四边形ABCD，其中，，，，，，试求顶点D的坐标 （P106）4．向量的数量积： 【例16】已知平行四边形ABCD，其中，，，，，，试判断△ABC的形状并给出证明 5．向量的模： 6．向量的夹角 【例17】设，，，，求及向量，的夹角 五．向量平行(共线)的充要条件：＝0 【例18】若向量，当＝　　　　　　时与共线且方向相反 【例19】已知，，，，，，试判断A、B、C三点之间的位置关系 六．向量垂直的充要条件： 【例20】已知，若，则　　　　　　 【例21】以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三