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飞机管理模型分析 杜志荣 张芸 黄笑笑 组号：4 摘要：本文讨论如何对新进入区域内的飞机是否会与区域内原有的飞机碰撞建立适当的数学模型，如若碰撞，再次建立能够得出调整各架飞机方向角，使得飞机均能安全飞出正方形区域的数学模型。根据题意可概括出两个问题：1. 判断飞行的飞机之间是否发生碰撞亦即可碰撞问题。2. 检测到碰撞的存在并采取措施进行规避，即碰撞规避问题。 （1）针对问题1，把各架飞机的运动轨迹端点坐标用时间表示后，就可以写出第六架飞机与其它五架飞机的距离表达式，判断这个最小距离是否小于8km，如果小于，则碰撞，否则不碰撞。这一过程的实现可通过MATLAB编程动态模拟飞机在区域内的飞行过程。在时间轴上连续取样，最后得出第六架飞机和第五架相碰，碰撞时事件飞机的坐标位f5(67.5875.61),f6(59.51,76.17)，相碰时刻为t=438s 合7分钟13秒。 （2）针对问题2，需要对各架飞机的方向角进行调整，并且使得飞机方向角调整幅度最小。建立如下模型： 目标函数为： Min 约束条件为： ＞64，，-30°＜，＜30°。 这是一个求非线性规划最优解问题，可借助MATLAB的fimincon()函数求解。求得第架飞机调整的角度分别为： 0°，0°，2.0624°，-0.4954°，0°，1.5670°。 关键字:飞机碰撞 方向角 最优解 非线性规划 一、问题重述 在约10,000米高空的某边长160公里的正方形区域内, 经常有若干架飞机作水平飞行。区域内每架飞机的位置和速度均由计算机记录其数据，以便进行飞行管理。当一架欲进入该区域的飞机到达区域边缘, 记录其数据后，要立即计算并判断是否会与区域内的飞机发生碰撞。 如果会碰撞，则应计算如何调整各架(包括新进入的)飞机飞行方向角，以避免碰撞。现假定条件如下: 　 1) 不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于8公里; 2) 飞机飞行方向角调整的幅度不应超过30度; 3) 所有飞机飞行速度均为每小时800公里; 4) 进入该区域的飞机在到达区域边缘时, 与区域内飞机的距离应在60公里以上; 5) 最多需考虑6架飞机; 6) 不必考虑飞机离开此区域后的状况。 请你对这个避免碰撞的飞行管理问题建立数学模型，列出计算步骤，对以下数据进行计算(方向角误差不超过0.01度)，要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小。设该区域4个顶点的坐标为(0,0)，(160,0)，(160,160)，(0,160)。记录数据为: 飞机编号 横坐标x 纵坐标y 方向角(度) 1 150 140 243 2 85 85 236 3 150 155 220.5 4 145 50 159 5 130 150 230 新进入 0 0 52 注: 方向角指飞行方向与x轴正向的夹角。试根据实际应用背景对你的模型进行评价与推广。 根据各架飞机飞行状况，可绘制初始时各飞机位置坐标图示如下。图中蓝色虚线矩形代表飞机飞行所讨论的区域边缘。坐标单位km。 图1 飞机6进入时各飞机位置 二、模型条件假设 1． 最多考虑同时6架飞机，不考虑飞机离开此区域后的情况。 2． 飞机飞行方向角调整的幅度不超过30°。 3． 以任意两架飞机间距大于8km作为不碰撞的标准。 4． 假设每架飞机在正方形区域内飞行时没有任何干扰因素导致的故障。 5． 每架飞机在正方形区域内，飞机可作为质点来处理。 6． 每架飞机调整的时间忽略，可调控，瞬时性。 7． 每架飞机仅调整一次，且从飞机进入区域边缘的那一刻进行调整。 8． 每架飞机均沿直线飞行，且所有飞机均在同一平面内飞行，飞行速度均为800km/h。 三、符号说明 表示飞机序号 表示第,架飞机的坐标位置，范围均为0～160，单位：km 表示第,架飞机的初始方向角，单位： 表示飞机的飞行速度，其值为800km/h 表示飞机在区域内飞行的时间，单位：h 表示第,架飞机改变的方向角，单位： 表示第架飞机与第架飞机之间的距离，单位：km 四、问题分析 问题一： 由于模型假设飞机是在同一高度飞行，故可以认为飞机是在同一水平面上，这样只需讨论二维平面管理飞机不相碰撞的管理和调节问题。 首先要判断各架飞机之间是否会碰撞。可以在二维坐标上找出各个飞机的点坐标，以此确定飞机的相对位置（如图1所示）。图1中虚线框代表整个正方形区域。左下角处为刚进入区域边缘的第6架。再可由题目中给出的飞机的坐标和飞行角度，借助MATLA