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24.1.2垂直于弦的直径
可以发现：
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴
用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径所在的直线对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
思考：AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E。
叠合法
·
O
A
B
C
D
E
（1）图是轴对称图形吗？如果是，
它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些相等的
线段和弧？为什么？
叠合法
·
O
A
B
C
D
E
⌒
垂径定理：
垂直于弦的直径平分弦，并且平分
弦所对的两条弧。
B
A
D
C
E
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
垂径定理的推论：
归纳
垂径定理“知二得三”：
(1) 直径(过圆心) ；
(2) 垂直弦；
(3) 平分弦(不是直径) ；
(4) 平分优弧；
(5) 平分劣弧；
知二得三
火眼金睛
在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等的线段或相等的圆弧
判断是非：
（1）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。
（2）平分弦的直线，必定过圆心。
（3）一条直线平分弦（这条弦不是直径），
那么这 条直线垂直这条弦。
?
?
?
选择：
如图：在⊙O中，AB为直径，CD为非直径的弦，对于（1）AB⊥CD （2）AB平分CD （3）AB平分CD所对的弧。若以其中的一个为条件，另两个为结论构成三个命题，其中真命题的个数为 （ ）
A、3 B、2 C、1 D、0
A
问题 ：你知道赵州桥吗?它是我国古代劳动人民勤劳和智慧的结晶. 它的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
37.4m
7.2m
A
B
O
C
E
解得：R≈27．9（m）
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
即 R2=18.72+（R－7.2）2
∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
OA2=AD2+OD2
AB=37.4，CD=7.2，
OD=OC－CD=R－7.2
在图中
解：用 弧AB表示主桥拱，设弧AB 所在圆的圆心为O，半径为R．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC与弧AB 相交于点C，根据垂径定理，D 是AB 的中点，C是弧AB的中点，CD 就是拱高．
如图，已知圆弧形桥拱的跨度AB=
12米，半径为10米，求拱高CD。
巩固
D
B
A
C
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
·
O
A
B
E
练习
解：
答：⊙O的半径为5cm.
在Rt△AOE中
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．
证明：
∴四边形ADOE为矩形，
又 ∵AC=AB
∴ AE=AD
∴ 四边形ADOE为正方形.
∴
∵ OE⊥AC OD⊥AB
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小结
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