浅谈例题教学中发散思维能力的培养.docVIP

浅谈例题教学中发散思维能力的培养 洪秀满 【原文出处】《中学数学》（湖北），2001.6.（7～8） 【作者简介】 洪秀满，浙江省椒江一中（318000） 发散思维又称求异思维，它是创造思维的核心. 美国著名心理学家吉尔福特指出：发散思维具有三个特性，即是“多端性、变通性和独特性”. 在数学教学中，引导学生进行发散思维的训练，对于培养创造型人才是极其重要的，而例题教学是数学教学的一个重要环节. 因此，如何在例题教学中培养学生发散思维“三性”呢？笔者在长期的教学实践中曾作了一些探索，现斜述如下，以期同行教正. 发散思维的多端性训练 发散思维的多端性也称流畅性，它反映发散思维具有发散、流畅、敏捷等特性. 因为多则发散，多则宽，多则流畅，所以多端性的特点是个“多”字. 所谓多，即对同一个问题的思维方向多，角度多，途径多，方法多. 因此，在例题教学中，引导学生进行一题多解、一题多变、一题多用，是实现发散机制的好办法，从而训练学生发散思维的多端性. 例1．已知复数满足且，求的值. 教学时，首先引导学生进行一题多解. 解1：设，则有 且， ∴ ∴， 即= 解2：设，则有 ， ∴ 即= 解3：由，=2. 故有. 设对应的点分别是A、B（如图（1））则有，所 以为等腰直角三角形，又是以OA、OB为边的平行四边形的对角线OC. 而这个平行四边形是正方形，故=. 解4：由 与 ，∴ +=1+1+0=2，即= 解5：∵= ∴ ∴= 解6：由题设得 ，故在复平面内所对应的点是圆与的交点，易求得交点坐标为，故，∴ 解7：因，设对应的点分别是A、B，则A与B在以原点为圆心的圆O上，作A关于O的对称点P，则点P对应的复数为，且线段AP是圆O的一条直径，故，由勾股 定理得：即 ∴∴= 通过上述多种解法，可使学生掌握复数求值的一些常用方法，同时可使学生进一步了解复数有关公式、复数几何意义以及课本习题的运用. 在这些证明中，汇集了大量信息，知识覆盖面广. 因此，学生的发散思维能力得到了提高. 趁热打铁，引导学生观察原题的条件和结论，在上述解答的启发下保持条件，改变结论，得到如下好题： 1：设复数满足且，求； 2：设复数满足且，求证：为纯虚数； 3：设复数满足且，求证：对任意实数， 恒有 4：设复数在复平面内的对应点为A、B，且满足 ，求证：为直角三角形. 再通过上述问题的一一推出与解答，学生的发散思维的多端性会进一步得到训练. 发散思维的变通性训练 变通性又称灵活性，它反映发散思维具有由此及彼、触类旁通的连动机智；改变事物的质和量，产生新的思路的转换机智；思路一旦在某一方面受阻，即刻转向另一方位，迅速寻找最优思维的机智. 变通性是发散思维的重要品质. 例2：设 ，解方程（1990年全国高考试题） 据笔者了解，当时的考生大都是采用常规模式：“转化”的方法来求解，即设或，将复数分离为实部和虚部，再利用复数相等的条件，列出有关条件的实数等式. 但是事物都是一分为二的. 这种转化有时会使问题变得复杂繁琐. 逆其道而行之，即把复数看作一个整体（“复数”作为“数”本来就是一个整体，只是我们有时不习惯这样看而已），利用“整体化处理”，便能化难为易. 这也是处理复杂问题的一种重要方法. 解：将原方程变形为，由为实数知或为实数， 或为纯虚数 ∴ ，即 ， 由（1）得 （∵），故. 而， ∴. ∴为实数. 这时，或（当时，亦有）. 由（2）得（其中，若方程（2）无解）. ∵，故，∴为纯虚数，这时，或（当时，除上面出现外，还有）. 与1990年高考题的参考解答比较，上述解法要清晰简捷得多. 1987年全国高考试卷中也有一道复数题：设复数和满足关系式，其中A为不等于零的复数，证明： （1）；（2） 当时相当一部分考生也试图采取将复数分离为实部和虚部的方法求解，结果陷入繁杂的计算而不能自拔，造成解题的失败. 此题若采用整体化方法处理，会获得简捷的解法，同时发散思维的变通性也得到训练. 3．发散思维的独特性训练 独特性是指完成思维活动的内容、途径和方法的程度，不受原有知识局限，并通过独立思考创造出有一定新颖的成份，表现为思维不循常规、不拘常法、不落俗套、寻求变异、勇于创新. 它又常以广泛的联想、推广、引伸、转换等数学思维方法为基础. 在例题教学中，积极引导学生对某些特例作适当引伸、推广，寻找一般规律，可以激发学生的学习兴趣，同时，学生发散性思维的独特性会得到训练. 例3：已知，求证：中至少有一个是0. （（课本）第16题） 笔者在一次习题课中，通过一题多解，进而引导学生作了如下引伸、推广和应用，激发了学生的学习兴趣，取得了良好的教学效果. 问题：设且中是否至少也有一个是零呢？ 探索：∵，又， ∴