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二次函数专题复习 第一节：一元二次方程判别式及根与系数的关系 一、复习引入 1、一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式： 　 2、证明：设ax2+bx+c=0 (a≠0)的两根为x1，x2， 由此得出，一元二次方程的根与系数之间存在如下关系：(又称“韦达定理”) ⑴、若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别为x1，x2，则：x1+x2=－b/a；x1x2=c/a； ⑵、若x1，x2是某一元二次方程的两根，则该方程可以写成：x2-(x1+x2)x+x1x2=0。 关于一元二次方程根的判别式： 3、一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)根的判别式为：△=b2-4ac 作用：不解方程，判断方程根的情况，解决与根的情况有关的问题。 主要内容：⑴、△＞0：有两个不相等的实数根； ⑵、△＝0：有两个相等的实数根； ⑶、△＜0：没有实数根。 二、典型例题 关于根的判别式的应用： 1、对于数字系数方程，可直接计算其判别式的值，然后判断根的情况； 2、对于字母系数的一元二次方程，若知道方程根的情况，可以确定判别式大于零、等于零还是小于零，从而确定字母的取值范围； 3、运用配方法，并根据一元二次方程根的判别式可以证明字母系数的一元二次方程的根的有关问题。 例1 当m分别满足什么条件时，方程2x2-(4m+1)x +2m2-1=0, （1）有两个相等实根；（2）有两个不相实根；（3）无实根；(4)有两个实根. 解：∵△=（4m+1）2-4×2×（2m2-1）=8m+9 （1）当△=8m+9=0，即m= - 时，方程有两个相等的实根； （2）当△=8m+9＞0，即m＞- 时，方程有两个不等的实根； （3）当△=8m+9＜0，即m＜ -时，方程没有实根。 例2 求证：关于x的方程x2+(m+2)x+2m-1=0有两个不相等的实数根。 分析：(1)要证方程有两个不相等的实数根，就是证明其根的判别式要大于零. (2)对于一个含有字母的代数式，要判断其正负，通常下面方法：通过配方变为“ 一个完全平方式+正数”；或变为“ -（ ）2 –正数”。 解答过程略 关于根与系数的关系（韦达定理）的应用： 例3 （1）已知关于x的方程3x2+6x-2=0的两根为x1 ，x2，求的值。 分析：已知方程，求两根组成代数式的值。这里主要说明解题格式，学生完成过程. （2）已知关于x的方程3x2-mx-2=0的两根为x1 ，x2，且 ，求 ①m的值；②求x12+x22的值。 分析：第（1）题是已知方程，求两根组成代数式的值，而第（2）题的第一问就反来了，也就是已知代数式的值求方程。第②问，再进一步，已知代数式的值，求另一个代数式的值.但是，无论是哪一个问题，所要用到的都是根与系数的关系。 小结：求方程两根所组成的代数式的值，关键在于把所求代数式变形为两根的和与两根的积的形式。 关于根的判别式和韦达定理的综合应用问题： 例4、已知、是一元二次方程的两个实数根。 （1）是否存在实数，使成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。 （2）求使的值为整数的实数的整数值。 通过此题，使学生明白解决这类问题，一般遵循“三步曲”，即假设存在——推理论证——得出结论（合理或矛盾两种情况）。 第二节：二次函数的解析式与图象 一、复习引入 1、二次函数的三种表达式： ⑴、一般式：y=ax2+bx+c（a≠0），解题的关键在于：通过三个独立条件“确定”这三个参数。当a＞0时,图象开口向上；当a＜0时，图象开口向上。对称轴为：x=-b/2a。当△=b2－4ac＞0时，图象与x轴有两个交点（方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根）；当△=b2－4ac=0时，图象与x轴有且只有一个交点（方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根）；当△=b2－4ac＜0时，图象与x轴没有交点（方程ax2+bx+c=0没有实数根）。顶点坐标是：（-b/2a，4ac-b2/4a）。 ⑵、顶点式：y=a（x-h）2+k（a≠0）。其中，h=-b/2a，k=4ac-b2/4a。 ⑶、零点式：y=a(x－x1)(x－x2)。利用了函数与方程根的关系。 2、二次函数的图象： ⑴、说出下列函数的开口方向、对称轴、顶点： y=(x+2)2-1；(2) y=-(x-2)2+2；(3) y=a(x+h)2+k。 ⑵、①、二次函数y=ax2(a≠0)的图像可由的y=x2图像各点纵坐标变为原来的a倍得到； ②、a决定了图像的开口方向: a0开口向上，a 0开口向下； ③、a决定了图像在同一直角坐标系中的开口大小: |a|越小图像开口就越大。 第三节：用二次函数的图象讨论二次方程根的分布 对一元二次方程，除了