行列式-行列式的性质计算.pptVIP

线性代数 第一章 行列式 三、行列式的计算 小 结 一、对换 课后作业 1）作业：书上25页习题一 第3，4（1）（3），5（1）题 2）预习：第1章行列式第6节 * 教 师 ： 一、对换 二、行列式的性质（重点） 三、行列式的计算（重点、难点） 主要内容： 定义 在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换． 将相邻两个元素对调，叫做相邻对换． 定理1　一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性． 一、对 换 提问：什么叫排列的奇偶性？ 定理1　一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性． 证明： 设排列为 对换 与 除 外，其它元素的逆序数不改变. 当 时， 经对换后 的逆序数增加1， 的逆序数不变； 经对换后 的逆序数不变， 的逆序数减少1. 因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性. 设排列为 当 时， 现来对换 与 次相邻对换 次相邻对换 次相邻对换 所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变 奇偶性. 由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的 变化次数, 推论 奇排列变标准排列的对换次数为奇数， 偶排列变成标准排列的对换次数为偶数. 定理2 阶行列式也可定义为 其中 为行标排列 的逆序数. 证明 而标准排列是偶排列(逆序数为0), 所以推论成立. 证明 按行列式定义有 记 对于D中任意一项 总有且仅有 中的某一项 与之对应并相等; 反之, 对于 中任意一项 也总有且仅有D中的某一项 与之对应并相等, 于是D与 中的项可以一一对应并相等, 从而 性质1 行列式D与它的转置行列式DT 相等? 由此性质可知? 行列式中的行与列具有同等的地位?行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立? 反之同? 性质2 互换行列式的两行? 行列式变号? 二、行列式的性质 性质4 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k? 等于用数k乘此行列式。 推论 行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。 性质3 如果行列式有两行(列)完全相同? 则此行列式等于零。 性质5 若行列式的某一行(列)的元素都是两个数之和? 则行列式等于两个行列式之和。 即 性质6 行列式中如果有两行(列)元素成比例? 则行列式等于零? 性质7 把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一个数然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列式不变。 称n 阶行列式 为上三角行列式。 下三角行列式？ 上三角和下三角行列式统称为三角形行列式。 显然， n阶三角形行列式等于它的主对角线上元素的乘积 在计算行列式时, 可以使用如下记号以便检查: 符号规定 第 i 行(或列)提出公因子 k ? 记作 ri?k (或 ci?k )? 交换 i? j 两行记作 ri?rj ? 交换 i? j 两列记作 ci?cj? 以数k乘第j行(列)加到第i行(列)上? 记作ri?krj (ci?kcj) 对任意的n阶行列式可用行列式性质将其化为三角形 行列式，这时计算n阶行列式的值即转化为计算三角 形行列式主对角线上的元素相乘的积。 例1 计算 ? 3 1 2 ?1 ?5 1 ?4 3 2 0 ?1 1 1 ?5 ?3 3 2 ?1 ?4 3 ?1 1 ?3 3 1 3 2 ?1 1 3 2 ?1 0 16 7 ?2 0 1 2 3 ?1 2 1 ?1 0 0 ?10 8 0 1 2 3 ?1 2 1 ?1 0 2 ?1 1 1 1 0 ?5 解： 3 1 2 ?1 ?5 1 ?4 3 2 0 ?1 1 1 ?5 ?3 3 3 ?5 2 1 c1?c2 r2?r1 r4?5r1 0 0 ?8 16 ?6 4 0 2 ?1 1 7 ?2 0 ?8 ?6 4 r2?r3 0 0 ?10 8 0 0 15 ?10 r3?4r2 r4?8r2 0 0 5/2 0 ?40? r4?r1 r3?r1 6 1 1 1 1 例2 计