结构力学第11章结构的极限荷载与弹性稳定讲述.pptVIP

由稳定方程解得 结构处于随遇平衡状态，如图c中的AB段。 若采用精确的方程则有 若只求临界荷载，可采用近似方程求解。 当 时， 与F的数值仍是一一对应的，如图c中的AC段。 n个自由度的结构→对新的平衡形式列出n个平衡方程 n个独立参数的齐次方程 系数行列式D=0的条件 建立稳定方程 n个根中的最小值为临界荷载 §11-5 压杆临界荷载 例11-5-1 试求图a所示结构的临界荷载。两抗移弹性支座的 刚均为k。 解：结构有两个自由度，失稳时A、 B点的位移如图b。 设位移是微小的，由∑MB=0，∑MC=0 即 y1、y2不全为零，则应有 展开 解得 临界荷载 §11-5 压杆临界荷载 由(a)式不能求得y1、y2的确定解答，但可以求出两者的比值。 将 代回(a)式可得 相应的位移图如图c。 将 代回(a)式可得 相应的位移图如图d。 实际结构必先以图d的形式失稳，图c只是理论上存在。 §11-5 压杆临界荷载 例11-5-3 图a所示一端固定另一端铰支的等截面中心受压弹 性直杆，设其已处于新的曲线平衡形式，则任一 截面的弯矩为 挠曲线的近似微分方程为 令 微分方程的通解为 边界条件为 代入通解得 (b) §11-5 压杆临界荷载 方程(b)是关于A、B、FS/F的齐次方程组，A=B=FS/F=0时满足，此时各点位移y均为零。对新的平衡形式要求三者不全为零，方程(b)的系数行列式应为零，得稳定方程为 展开 此超越方程图解法求解，如图b。 与 交点的横坐标即为方程的根。最小根nl在3π/2≈4.7左侧附近，试算求得准确解。 求得临界荷载值为 §11-5 压杆临界荷载 势能驻值原理：对于弹性结构，在满足支承条件及位移连续条件 的一切虚位移中，同时又满足平衡条件的位移 （就是真实的位移）使结构的势能EP为驻值，即 Vε—结构的应变能； V—外力势能。 外力势能定义为 Fi —结构上的外力 Δi —与外力相应的虚位移 有限自由度结构→所有可能的位移状态只用有限个独立参数a1，a2，…，an即可表示，EP只是这有限个独立参数的函数。 单自由度结构→EP只是参数a1的一元函数，势能的变分为 结构处于平衡时 是任意的 故 §11-5 压杆临界荷载 由 可建立稳定方程以求解临界荷载。 多自由度结构势能的变分为 由δEP=0及δa1， δa2，… ，δan的任意性，必须有 由此获得一组含a1， a2，… ，an的齐次线性代数方程，要使a1， a2，… ，an不全为零，则此方程组的系数行列式应为零→建立稳定方程→确定临界荷载。 §11-5 压杆临界荷载 例11-5-4 图a所示压杆EI为无穷大，上端水平弹簧的刚度为k， 试确定其临界荷载。 解：单自由度结构失稳时发生微小的偏 离如图b。 弹簧的应变能为 外力势能为 结构的势能为 若图b结构能维持平衡则有 y1≠0，故 临界荷载为 §11-5 压杆临界荷载 例11-5-5 用能量法求图a所示结构的临界荷载。 解：结构具有两个自由度，失稳时发生 图b所示位移。 结构处于平衡时 结构的势能为 y1、y2不能全为零 §11-5 压杆临界荷载 展开整理得 解得 最小值为临界荷载 图示弹性压杆为无限自由度结构，失稳时发生弯矩变形，应变能为： 代入 将 任一微段ds与其投影dx之差为 此式沿杆长l积分得 §11-5 压杆临界荷载 外力势能为 结构的势能为 挠曲线y是未知的，它可以看作无限多个独立参数。 EP是挠曲线函数y的函数，即是一个泛函，δEP=0是求泛函极值的问题—变分问题。 瑞利-李兹法：将无限自由度近似简化为有限自由度。 设 —满足位移边界条件的已知函数 —任意参数 结构所有变形状态由a1，a2，…，an所确定，简化为n个自由度。 §11-5 压杆临界荷载 如果在(1)式中只取一项： 是简化为单自由度求解。 通常取某一横向荷载作用下的挠曲线作为失稳时的近似挠曲线 例13-5 试求图a所示两端铰支等截面压杆的临界荷载。 解：挠曲线函数只取一项，即简化为单自由度 结构计算。 (1) 设挠曲线为正弦曲线 显然y满足位移边界条件 结构的势能为 §11-5 压杆临界荷载 而a≠0，故有 得 —与精确解相同，特殊情形。 (2) 设挠曲线为抛物线 —满足位移边界条件 由 和a≠0，可求得