04 第2章函数概念与基本初4等函数Ⅰ 2.1函数的概念和图象.docxVIP

第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ2.1函数的概念和图象1.已知a，b是常数，且y+b与x+a成正比例.求证：y是x的一次函数.分析：应写出y+b与x+a成正比例的表达式，然后判断所得结果是否符合一次函数定义.证明：由已知，有y+b=k(x+a)，其中k≠0.整理，得y=kx+(ka－b).　　　①因为k≠0且ka－b是常数，故y=kx+(ka－b)是x的一次函数式.2.填空：如果直线方程ax+by+c=0中，a＜0，b＜0且bc＜0，则此直线经过第（）象限.分析：先把ax+by+c=0化为.因为a＜0，b＜0，所以.又bc＜0，即＜0，故－＞0.相当于在一次函数y=kx+l中，k=－＜0，l=－＞0，此直线与y轴的交点(0，－)在x轴上方.且此直线的向上方向与x轴正方向所成角是钝角，所以此直线过第一、二、四象限.3.一次函数图象与反比例函数y=的图象的交点坐标分别是P(m，4)，Q(－1，m)(A)y=4x+3 (B)y=－4x+3 (C)y=x+3 (D)y=4x－3分析：把P，Q两点坐标代入反比例函数式y=，得即P点坐标是?(14，4)，Q点坐标是(－1，－1).设一次函数式的解析式是y=kx+b.把P，Q坐标代入，得.所求直线为y=4x+3.先(A).4.把反比例函数y=与二次函数y=kx2(k≠0)画在同一个坐标系里，正确的是( ).答：选(D).这两个函数式中的k的正、负号应相同.5.对于二次函数y=x2－2ax+2a+3.分别满足下列条件，求系数a的值.(1)图象与x轴没有交点；(2)函数式为完全平方；(3)函数的最小值为零；(4)当x＞5时，y随x增大而增大，且x＜5时，y随x增大而减小；(5)图象的顶点位置最高，并求这个顶点的坐标；(6)图象在x轴上截得的线段长是3.解：(1)令y=0，则二次函数y=x2－2ax+2a+3变为二次方程x2－2ax+2a+3=0.函数图象与x轴没有交点，相当于二次方程没有实数解.由Δ=(－2a)2－4(2a+3)=4(a2－2a－3).令Δ＜0，即a2－2a－3＜0.用图象法解此二次不等式.设y=a2－2a－3(这里把a看作自变量).此图象与横轴交点的横坐标是方程a2－2a－3=0的解.即a1=3，a2=－1.使函数y=a2－2a－3的纵坐标为负值，即图象在横轴下方，这时的横坐标a应满足－1＜a＜3.所以－1＜a＜3时，y=x2－2ax+2a+3的图象与x轴没有交点；(2)对于二次三项式ax2+bx+c(a＞0)，当且仅当b2－4ac=0时，ax2+bx+c=a(x－x1)(x－x2)=[(x－x1)］2，这个二次三项式是完全平方.由Δ=(－2)2－4(2a+3)=0，得a1=3，a2=－1.故a=3或a=－1时y=x2－2ax+2a+3是完全平方；(3)把函数y=x2－2ax+2a+3配方成y=(x+h)2+k的形式，y=x2－2ax+a2+(－a2+2a+3)=(x－a)2+(－a2+2a+3).因为y(x－a)2+(－a2+2a+3)≥－a2+2a+3.所以y最小值是－a2+2a+3.由已知最小值为0，令－a2+2a+3=0，得a=3，a=－1;(4)由已知可知，此图象的对称轴为5，即=5，得a=5；(5)要使图象的顶点位置最高，应求顶点纵坐标的最大值.顶点纵坐标.用配方法求最大值.－a2+2a+3=－(a2－2a+1－1)+3=－(a－1)2+4≤4.所以当a=1时，顶点纵坐标最大值是4，而顶点横从标为=a.故最高的顶点坐标是(1，4)；(6)图象与x轴两个交点的横坐标就是方程x2－2ax+(2a+3)=0的两个根.设这两个根为x1，x2.由｜x1－x2｜=3，得(x1－x2)2=9，即(x1+x2)2－4x1x2=9. ①又x1+x2=2a，x1x2=2a+3，代入①，得(2a)2－4(2a+3)=9，即4a2－8a－21=0.所以a1=72，a2=－32.又a1，a2都满足Δ＞0.答：当a=或a=－时，图象在x轴上截得的线段长为3.6.已知一次函数 y=ax+b (a，b是整数) ①二次函数 y=x2+3，②二次函数 y=x2+6x+7，③二次函数 y=x2+4x+5，④如果：①与②的图象有两个交点；①与③的图象只有一个交点；①与④的图象没有交点.求整数a，b的值.解：由的x2－ax+(3－b)=0.因为图象有两个交点，所以此二次方程的根的差别式Δ=(－a)2－4(3－b)＞0. ⑤由.即x2+(6－a)x+(7－b)=0.Δ=(6－a)2－4(7－b)=0.⑥答：所求整数为a=2，b=3.7.k取什么值时，二次函数y=x2－2(k+4)x+2(k2－2)的图象与x轴的两个交点都在y轴的右侧.分析：交点的横坐标，