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一．填空题（本题总计30分，每小题3分） 0 充分 收敛 3 （为任意常数） 二．（本题总计6分） 计算抛物线与直线所围成的图形的面积。 三．求下列函数的偏导数（本题总计10分，每小题5分） 1． 2． 1． 2． 四．计算下列二重积分（本题总计12分，每小题6分） 1． 围成的区域 解：原式 2． 解：原式 五．（本题总计6分） 判断级数 的敛散性 ，并说明原因。 解： 1 原级数收敛 六．（本题总计6分） 级数是否收敛，如果收敛，是条件收敛还是绝对收敛，并说明原因。 解：原级数对应的绝对值级数为 因为 又 收敛， 所以收敛，即原级数绝对收敛 七．（本题总计6分） 求的和函数，并计算的值。 解： 时，时，级数收敛 当时，收敛； 当时，收敛， 此幂级数的收敛域为[-1，1] 设 = 八．（本题总计5分） 将 展开成关于的幂级数。 解： 九．求下列微分方程的通解（本题总计13分，其中第1题6分，第2题7分） 1． 解：原方程可化为： 设，则 即： 两边积分得： 即 （注意答案的多种形式） 2．解答：原方程变形为 法一： 对应的齐次方程为，其通解为 设为原方程的解，代入方程可得 所以方程通解为： 又因为 所以 ，故方程的特解为： 法二： 方程通解为： 即为： 又因为 所以 故方程的特解为： 十． （本题总计6分） 设具有连续偏导数，证明方程所确定的函数满足 解：设 1
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