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第8章 第4节 一、选择题 1．平面α垂直于平面β(α、β为不重合的平面)成立的一个充分条件是(　　) A．存在一条直线l，l⊥α，l⊥β B．存在一个平面γ，γ∥α，γ∥β C．存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β D．存在一条直线l，l⊥α，l∥β [分析]　本题主要考查立体几何及简易逻辑的有关知识．由充分条件的含义可知本题就是要从四个选项中寻求使平面α⊥平面β成立的一个条件． [答案]　D [解析]　对于选项A，l⊥α，l⊥β?α∥β；对于选项B，γ∥α，γ∥β?α∥β；对于选项C，当γ⊥α，γ⊥β成立时，平面α，β的关系是不确定的；对于选项D，当l⊥α，l∥β成立时，说明在β内必存在一条直线m，满足m⊥α，从而有α⊥β成立． 2．在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不成立的是(　　) A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAE C．平面PDF⊥平面ABC D．平面PAE⊥平面ABC [答案]　C [解析]　∵D、F分别为AB、CA中点， ∴DF∥BC. ∴BC∥面PDF，故A正确． 又∵P－ABC为正四面体， ∴P在底面ABC内的射影O在AE上． ∴PO⊥面ABC.∴PO⊥DF. 又∵E为BC中点， ∴AE⊥BC，∴AE⊥DF. 又∵PO∩AE＝O，∴DF⊥面PAE，故B正确． 又∵PO面PAE，PO⊥面ABC， ∴面PAE⊥面ABC，故D正确． ∴四个结论中不成立的是C. 3．定点A和B都在平面α内，定点P?α，PB⊥α，C是α内异于A和B的动点，且PC⊥AC.那么，动点C在平面α内的轨迹是(　　) A．一条线段，但要去掉两个点 B．一个圆，但要去掉两个点 C．一个椭圆，但要去掉两个点 D．半圆，但要去掉两个点 [答案]　B [解析]　连接BC，∵PB⊥α， ∴AC⊥PB. 又∵PC⊥AC， ∴AC⊥BC. ∴C在以AB为直径的圆上．故选B. 4．设四面体ABCD各棱长均相等，E、F分别为AC，AD的中点，如右图，则△BEF在该四面体的面ABC的上射影是下图中的(　　) [答案]　B [解析]　取BC中点G，连接AG、DG，可证AD在面ABC的上射影为AG，则F在面ABC上的射影在AG上． 5．如图(1)所示，在正方形SG1G2G3中，E、F分别是边G1G2，G2G3的中点，D是EF中点，现沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个几何体(如图(2)所示)，使G1、G2、G3三点重合于点G，这样，下面结论成立的是(　　) A．SG⊥平面EFG　　　　　　B．SD⊥平面EFG C．GF⊥平面SEF D．GD⊥平面SEF [答案]　A [解析]　(1)直接法 在图(1)中，SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，在图(2)中，SG⊥GE，SG⊥GF，∴SG⊥平面EFG. (2)(排除法) GF即G3F不垂直于SF， ∴可以否定C；△GSD中，GS＝a(正方形边长)， GD＝a，SD＝a， ∴SG2≠SD2＋GD2，∠SDG≠90°，从而否定B和D. 6．(文)(教材改编题)“直线与平面α内无数条直线垂直”是“直线与平面α垂直的”(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 [答案]　B [解析]　由直线与平面垂直的定义知，为必要不充分条件． (理)如图所示，过正方形ABCD的顶点A，引PA⊥平面ABCD，若PA＝AB，则平面ABP和平面CDP所成的二面角的大小是(　　) A．30°　　　　B．45°　　　　C．60°　　　　D．90° [答案]　B [解析]　过P作PQ∥AB.则PQ为面ABP与面CDP的交线， ∵AP⊥AB，∴AP⊥PQ. 又CD⊥AD且CD⊥AP， ∴CD⊥DP，即DP⊥PQ所以∠DPA为所求的二面角的平面角． 显然∠DPA＝45°，故选B. 7．设m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面．给出下列四个命题： ①若m⊥α，n∥α，则m⊥n； ②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ； ③若m∥α，n∥α，则m∥n； ④若a⊥γ，β⊥γ，则α∥β. 其中正确命题的序号是(　　) A．①和②　　　　　　 B．②和③ C．③和④ D．①和④ [答案]　A 8．(文)a、b为不重合的直线，α，β为不重合的平面，给出下列4个命题： ①a∥α且a∥b?b∥α；　②a⊥α且a⊥b?b∥α； ③a⊥α且a⊥b?b⊥α；　④a⊥β且α⊥β?a∥α. 其中正确命题的个数为(　　) A．0　 　　 B．1　 　　 C．2　 　　 D．3 [答案]　A [解析]　?b∥α或b?α； ?b∥α或b?α； ?a∥α或a?α. (理)棱长都为2的直平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，∠BAD＝60°，则对角线