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高斯-塞德尔迭代解线形方程组 寇海燕 （包头师范学院数学科学学院） 摘要： 本文主要说了用高斯-塞德尔迭代法解线性方程组，及例题分析。 关键字：简单迭代 高斯-塞德尔迭代 收敛条件 1.1 迭代法的一般形式 设 A 为非奇异矩阵，，则线性代数方程组 （1.1） 有唯一解。 现将矩阵A分裂为矩阵N与P 的差： A = N — P 其中N为非奇异矩阵。于是方程组（1.1）可表示为 （1.2） 即 若记 ， 则（1.1）可以写为等价形式： （1.3） 据此，我们便可以写出单步定常线性迭代格式： （1.4） 其中矩阵B为迭代矩阵。之所以称其为单步是指计算时仅用到。定常是指B和均与无关，线性是指为的线性影射。 对于任意给定的迭代初值，则由（1.4）便可生成一向量序列{}，我们的目的是求方程 的解，因此我们希望 为此，我们引入下述定义： 定义1.1 若存在，使得对任意的近似向量，由迭代格式（1.4）产生的序列{}都收敛到，即则称迭代格式（1.4）是收敛的，否则称之为发散的。 显然，若迭代格式收敛，即 ，则 为（1.3）的解。 由此看来，用迭代法解线性方程组（1.1），需要解决如下三个问题： 迭代格式的构造； 迭代格式的判敛； 迭代格式收敛快慢的估计。 在本文我们将集中研究常用的迭代方法，即高斯-塞德尔 (Gauss-Seidel) 迭代。 2? 高斯-塞德尔（Gauss-Seidel）迭代法 2.1高斯-赛德尔迭代计算 　在雅可比迭代中，用的值代入方程 中计算出的值，的计算公式是 （2.1） 事实上，在计算前，已经得到的值，不妨将已算出的分量直接代入迭代式中，及时使用必威体育精装版计算出的分量值。因此的计算公式可改为： （2.2） 即用向量计算出的值，用向量计算出的值，用向量计算出的值，这种迭代格式称为高斯—塞德尔迭代。 对于方程组AX=y ，如果由它构造高斯-塞德尔迭代和雅可比迭代都收敛，那么，多数情况下高斯—塞德尔迭代比雅可比迭代的收敛效果要好。 构造方程组的高斯-塞德尔迭代格式的步骤与雅可比类似，设将方程组中每个方程的留在方程的左边，其余各项都移到方程的右边；方程两边除以，得到下列同解方程组： 　　记，对方程组对角线以上的取第步迭代的数值，对角线以下的取第步迭代的数值，构造高斯—塞德尔迭代形式： （2.3） 2.2　高斯—塞德尔迭代矩阵 　　设 　　写成等价矩阵表达式： 　 构造迭代形式： 有???? ?　　　　（2.4） 则高斯-塞德尔迭代式（2.4）为 　　　　　　　　 ??????????　　　　　 ? （2.5） 　　???? 　　称为高斯-塞德尔迭代矩阵 。 例 1 用高斯-塞德尔方法解方程组： 　　解：方程的迭代格式： 　　取初始值有 　　时， 　　　　? 　　时， 　　　　 　　计算结果如表2.1所示。 表 2.1 计算结果 　　 　　　　　　　　　　?　　　　 0 1 2 3 4 　　　0　　　　　0　　　　　0 　　　－2.5　　　2.1　　　　1.14　　　　　2.5 　　　－0.88　　 2.004　　　0.9876　　　　1.62 　　　－1.0042　 1.9984　　 1.0006　　　　0.1242 　　　－1.0005　 2.0002　　 1.0000　　　　0.0037 例2 用高斯--塞德尔迭代法解方程组 对该方程组做简单调整，使得用高斯--塞德尔迭代法求解时对任意始向量都收敛，并取初始向量，用该方法求近似解 ，使 。 调整后方程为 这是主对角线严格对角占优方程组，故用高斯--塞德尔迭代法求解对任意初始向量 都收敛。 高斯--塞德尔迭代格式为 由 计算得 因为 ，故所求近似解为 ，将代入方程组后可知，它实际上就是近似解。 　　 2.3　　判断高斯塞德尔迭代收敛的方法与判断雅可比迭代收敛类似，一方面从高斯-塞德尔迭代矩阵获取信息，当或的某种范数时，迭代收敛；另一方面，直接根据方