实现问题线性变换.docVIP

第三讲：实现问题、线性变换 三、系统的实现问题（G(s) 状态空间的表示） 设系统 =Ax+Bu y=Cx+Du 有时记为 现在讨论的实现问题是如何由传递函数阵 获得状态空间的表示，亦A、B、C、D 重点讨论：单输入－单输出系统的实现问题。 单输入—单输出特指单变量 为 P=1、m=1、 n阶， 亦为由传递函数，求{ A、B、C、D}问题。 设传递函数 问：用怎样的 {A、B、C、D} 实现G(s) ? 使G(s)=C (SI－A)-1 B +D =C(SI－A) –1 b+d 与一般G (s) 形式比较 d = (, 余下的问题是求A、b、c实现 为讨论方便现设 1、标准型实现 给出微分算子： 微分算子本身并无意义 是一种符号，d 一旦作用于函数 即产生意义。 为被作用函数各阶导数代数和 改写 则： 现设： 对应微分方程为：（用微分算子表示） D(P) Y(t) = N(P) u(t) 其中， 能控标准型实现 引入一函数 ( 亦即经D(P)作用为u(t)) 有u(t)=D(P)V(t) 对应于微分方程有： D(p) y(t) = N(P) u(t) 输出y是引入函数V(t)及各阶导数线性组和。 取V(t)及其一次、二次……n－1次导数为状态变量。 且 u(t) = D(p) V(t) 将状态变量x1……xn代入有： 由y(t)=N(P)V(t) = 亦： 称为能控标准型（第二能控标准型）。 用经典理论中信号流图表示状态方程，设状态变量及对应导数为节点（状态变量图）如图（）示。并且可用梅逊公式验证。Σ A，b，c 确为 ，亦满足。 1 1 1 1 u(t) y 2、解观测标准型 系统为单输入－单输出时，传递函数G(s)为11阵，且。 现设A、B、C为G(s)实现。 可见， 亦 为G(s)的实现。 ， 称之为解观型实现。其为解控型实现A、B、C转置。注意到此时xi与xj的关系刻画出信号流图。解控型实现与解观型实现的关系称为对偶关系。这种对偶关系对多变量系统也适用。 2、并联实现 给定传递函数G(s)=e1/(s+λ1)+e2/(s+λ2)并联连接可得到并联实现。并联连接方式由典型环节组成。对惯性环节：yi=ei*u/(s+λi) 画状态变量图（如图），设积分器输出为状态。 U 信号流图： u u y 对无重极点时（λ1λ2） 对y=e1*u/(s+λ1)+e2*u/(s+λ2)画出信号流图（如图） y=x1+x2 矩阵形式： 有重极点时（P1、2=―λ1 P3=－λ） u y 状态流图如图： 矩阵形式： U Y 同样也刻画出另外的信号流图（如图）：