十重积分(解题方法归纳).docVIP

第十章 重积分解题方法归纳 一、重积分的概念、性质 重积分的定义是一个黎曼和的形式，对于一些和式的极限问题，有时可根据定义，将其转化为重积分，再利用重积分的计算方法求解. 另外很多考试在选择题或填空题中，直接考查重积分的性质，常考的性质一般有：比较性质、对称性质、中值定理等. 例1 （2010年考研 数一、数二）=（ ） 解 由于 而 因此 故选. 『方法技巧』 当遇到黎曼和的形式时，经常考查积分的定义式，在积分中，积分变量的符号是任意的，可根据题目的要求选取. 例2 设在上连续，又，则时，是的 阶无穷小. 解 由题意 要确定 中的. 由积分中值定理知，存在，使得 因此 故 ，即是的3阶无穷小. 『方法技巧』 要将被积函数从积分号内取出时，常会用到积分中值定理，尤其在证明题中经常遇到. 二、重积分的计算方法 当给定被积函数和积分区域时，重积分是一个确定的数值.对于简单的函数，用性质或几何意义即可求得积分值；对一般函数，需要化为累次积分计算. 1.重积分的计算方法归纳如下： (1) 利用重积分的性质计算重积分. (2) 利用重积分的几何意义（针对二重积分）计算重积分. (3) 直角坐标系下计算重积分. (4) 极坐标系、柱面坐标系和球面坐标系下，计算重积分. (5) 利用换元法计算重积分. 2. 在具体计算时，常用到如下一些结论： （1）若积分区域关于（或）轴对称，则 （或 ） 其中是在（或）轴上（或右）方的部分. （2）若积分区域关于直线对称，则 其中是在直线上方的部分. （3）若积分区域关于（或）面对称，则 （或 ， ） 其中是在（或）面上（或前，右）方的部分. （4）若积分区域是（或）型域，即（或 ），则二重积分 （或 ） （5）若极点在积分区域内或边界上，即，则二重积分 （6）若极点在积分区域外，即，则二重积分 （7）若积分区域（或 ， ） 则三重积分（投影法） （或 ） （8）若积分区域（或 ，） 则三重积分（截痕法） （或 ，） （9）若积分区域（或 ，） 则三重积分（柱面坐标） （或 ） （10）若积分区域 则三重积分（球面坐标） 计算重积分的步骤： （1）二重积分画出积分区域的草图；三重积分想象出积分区域的图形； （2）选取坐标系（依据或的形状和被积函数或的形式）； （3）选择积分次序； （4）确定累次积分的上、下限，分别计算定积分. 例3 设，若，则 =（ ）. 解 由于被积函数是球心在原点，半径为的上半个球面，根据二重积分的几何意义知，等于以为底，为顶的立体的体积，即 因此 ，故选. 『方法技巧』 当被积函数是我们比较熟悉的曲面时，首先要考虑二重积分的几何意义.本题也可直接利用极坐标计算二重积分. 例4 设，计算二重积分. 解 积分区域如图10.35所示，它关于 轴、轴及原点对称，为在第一象限部分. 对于二重积分，由于被积函数对变量和 均为偶函数，由二重积分的对称性知 . 对于二重积分，由于被积函数对为奇函数，由二重积分的对称性知 . 故 『方法技巧』 当积分区域关于轴或轴对称时，首先要考虑被积函数是否存在对变量和的奇、偶性，若存在，可以先化简，再计算，这样会简化运算过程. 本题也可直接利用直角坐标计算二重积分. 例5 设，计算二重积分. 解 积分区域如图10.36所示，由于积分区域 与圆有关，被积函数中含有，因此采用极坐标. 所以 ，故 『方法技巧』 当积分区域与圆（圆、圆环、扇形）有关，被积函数中含有、或时，一般计算二重积分时，会考虑利用极坐标. 例6 设，计算二重积分. 解 积分区域是由圆周围成的，令，则作变换，将面上的闭区域转化为面上的闭区域，则 因此 又由于关于轴、轴均对称，所以 ，故 『方法技巧』 当复杂的积分区域可经过坐标变换（平移或旋转），变成简单区域时，一般会用二重积分的换元法. 例7 设，将三重积分在三种坐标系下化为累次积分. 解 积分区域如图10.37所示. 在直角坐标系下，先对积分，作平行于 轴并与其方向一致的射线穿入，穿进的曲 面是变量的下限，穿出的曲面 是变量的下限，再将投影 到面得闭区域 在上将二重积分转化为二次积分，故 在柱面坐标系下，将转化为柱面坐标系下的积分区域，即 则 在球面坐标系下，将转化为球面坐标系下的