2018版高考数学大一轮复习 第十二章 概率、随机变量及其分布 12.4 离散型随机变量及其分布列试题 理 北师大版.docVIP

第十二章 概率、随机变量及其分布 12.4 离散型随机变量及其分布列试题 理 北师大版 1．离散型随机变量的分布列 (1)将随机现象中试验(或观测)的每一个可能的结果都对应于一个数，这种对应称为一个随机变量． (2)离散型随机变量：随机变量的取值能够一一列举出来，这样的随机变量称为离散型随机变量． (3)设离散型随机变量X的取值为a1，a2，…随机变量X取ai的概率为pi(i＝1,2，…)，记作：P(X＝ai)＝pi(i＝1,2，…)， 或把上式列表： X＝ai a1 a2 … P(X＝ai) p1 p2 … 称为离散型随机变量X的分布列． (4)性质： ①pi0，i＝1,2，…； ②p1＋p2＋…＝1. 2．超几何分布 一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品．从中任取n (n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么 P(X＝k)＝ (其中k为非负整数)． 如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称X服从参数为N，M，n的超几何分布． 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．(　√　) (2)离散型随机变量的分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象．(　√　) (3)某人射击时命中的概率为0.5，此人射击三次命中的次数X服从两点分布．(　×　) (4)从4名男演员和3名女演员中选出4名演员，其中女演员的人数X服从超几何分布．(　√　) (5)离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.(　×　) (6)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．(　√　) 1．(教材改编)抛掷甲、乙两颗骰子，所得点数之和为X，那么X＝4表示的事件是(　　) A．一颗是3点，一颗是1点 B．两颗都是2点 C．甲是3点，乙是1点或甲是1点，乙是3点或两颗都是2点 D．以上答案都不对 答案　C 解析　根据抛掷两颗骰子的试验结果可知，C正确． 2．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)等于(　　) A．0 B. C. D. 答案　C 解析　设X的分布列为 X 0 1 P p 2p 即“X＝0”表示试验失败，“X＝1”表示试验成功，由p＋2p＝1，得p＝，故选C. 3．从标有1～10的10支竹签中任取2支，设所得2支竹签上的数字之和为X，那么随机变量X可能取得的值有(　　) A．17个 B．18个 C．19个 D．20个 答案　A 解析　X可能取得的值有3,4,5，…，19，共17个． 4．从装有3个红球、2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X个红球，则随机变量X的分布列为________． 答案　 X 0 1 2 P 0.1 0.6 0.3 解析　∵X的所有可能取值为0,1,2， ∴P(X＝0)＝＝0.1， P(X＝1)＝＝＝0.6，P(X＝2)＝＝0.3. ∴X的分布列为 X 0 1 2 P 0.1 0.6 0.3 5.(教材改编)一盒中有12个乒乓球，其中9个新的、3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值为______． 答案　 解析　由题意知取出的3个球必为2个旧球、1个新球， 故P(X＝4)＝＝. 题型一　离散型随机变量的分布列的性质 例1　(1)设X是一个离散型随机变量，其分布列为 X －1 0 1 P 2－3q q2 则q等于(　　) A．1 B.± C.－ D.＋ 答案　C 解析　∵＋2－3q＋q2＝1，∴q2－3q＋＝0，解得q＝±.又由题意知0q2，∴q＝－. (2)设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m 求2X＋1的分布列． 解　由分布列的性质知 0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3. 首先列表为 X 0 1 2 3 4 2X＋1 1 3 5 7 9 从而2X＋1的分布列为 2X＋1 1 3 5 7 9 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 引申探究 1．在本例(2)的条件下，求随机变量η＝|X－1|的分布列． 解　由(2)知m＝0.3，列表 X 0 1 2 3 4 |X－1| 1 0 1 2 3 ∴P(η＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.2＋0.1＝0.3， P(η＝0)＝P(X＝1)＝0.1，P(η＝2)＝P(X＝3)＝0.3， P(η＝3)＝P(X＝4)＝0.3. 故η＝|X－1|的分布列为 η 0 1 2 3 P 0.1 0.3 0.3 0.3 2.若本例(2)中条件不变，求随机变量η＝X2的分布列． 解　依题意知η的值为0,1,4,9,16