2018版高考数学大一轮复习 第八章 立体几何与空间向量 8.8 立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离试题 理 北师大版.docVIP

第八章 立体几何与空间向量 8.8 立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离试题 理 北师大版 1．两条异面直线所成角的求法 设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则 l1与l2所成的角θ a与b的夹角β 范围 (0，] [0，π] 求法 cos θ＝ cos β＝ 2.直线与平面所成角的求法 设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，a与n的夹角为β，则sin θ＝|cos β|＝. 3．求二面角的大小 (1)如图①，AB，CD分别是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉． (2)如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)． 【知识拓展】 利用空间向量求距离(供选用) (1)两点间的距离 设点A(x1，y1，z1)，点B(x2，y2，z2)，则|AB|＝||＝. (2)点到平面的距离 如图所示，已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离为||＝. 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．(　×　) (2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．(　×　) (3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角．(　×　) (4)两异面直线夹角的范围是(0，]，直线与平面所成角的范围是[0，]，二面角的范围是[0，π]．(　√　) (5)若二面角α－a－β的两个半平面α，β的法向量n1，n2所成角为θ，则二面角α－a－β的大小是π－θ.(　×　) 1．(2016·烟台模拟)已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角为(　　) A．45° B．135° C．45°或135° D．90° 答案　C 解析　cos〈m，n〉＝＝＝，即〈m，n〉＝45°. ∴两平面所成的二面角为45°或180°－45°＝135°. 2．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 答案　A 解析　设l与α所成角为θ，∵cos〈m，n〉＝－， ∴sin θ＝|cos〈m，n〉|＝，∵0°≤θ≤90°，∴θ＝30°.故选A. 3．(2016·郑州模拟)如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　设CA＝2，则C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,0,1)，C1(0,2,0)，B1(0,2,1)，可得向量＝(－2,2,1)，＝(0,2，－1)，由向量的夹角公式得cos〈，〉＝＝＝，故选A. 4．(教材改编)如图，正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为2，则AC1与侧面ABB1A1所成的角为______________________________． 答案　 解析　以A为原点，以，(AE⊥AB)，所在直线为坐标轴(如图)建立空间直角坐标系，设D为A1B1中点， 则A(0,0,0)，C1(1，，2)，D(1,0,2)，∴＝(1，，2)， ＝(1,0,2)． ∠C1AD为AC1与平面ABB1A1所成的角， cos∠C1AD＝ ＝＝， 又∵∠C1AD∈， ∴∠C1AD＝. 5．P是二面角α－AB－β棱上的一点，分别在平面α、β上引射线PM、PN，如果∠BPM＝∠BPN＝45°，∠MPN＝60°，那么二面角α－AB－β的大小为________． 答案　90° 解析　不妨设PM＝a，PN＝b，如图， 作ME⊥AB于E，NF⊥AB于F， ∵∠EPM＝∠FPN＝45°， ∴PE＝a，PF＝b， ∴·＝(－)·(－) ＝·－·－·＋· ＝abcos 60°－a×bcos 45°－a×bcos 45°＋a×b ＝－－＋＝0， ∴⊥， ∴二面角α－AB－β的大小为90°. 题型一　求异面直线所成的角 例1　(2015·课标全国Ⅰ)如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC. (1)证明：平面AEC⊥平面AFC； (2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值． (1)证明　如图所示，连接BD，设BD∩AC＝G，连接EG，FG，EF. 在菱形AB