2018版高考数学大一轮复习 第八章 立体几何与空间向量 8.3 空间图形的基本关系与公理课件 理 北师大版.pptVIP

(2)(2016·南昌一模)已知a、b、c是相异直线，α、β、γ是相异平面，则下列命题中正确的是 A.a与b异面，b与c异面?a与c异面 B.a与b相交，b与c相交?a与c相交 C.α∥β，β∥γ?α∥γ D.aα，bβ，α与β相交?a与b相交 答案 解析 如图(1)，在正方体中，a、b、c是三条棱所在直线，满足a与b异面，b与c异面，但a∩c＝A，故A错误； 在图(2)的正方体中，满足a与b相交，b与c相交，但a与c不相交，故B错误；如图(3)，α∩β＝c，a∥c，则a与b不相交，故D错误. 题型三　求两条异面直线所成的角 例3　(2016·重庆模拟)如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP与BD所成的角为______. 答案 解析 如图，将原图补成正方体ABCD－QGHP，连接GP，则GP∥BD，所以∠APG为异面直线AP与BD所成的角， 在△AGP中，AG＝GP＝AP， 所以∠APG＝ . 引申探究 在本例条件下，若E，F，M分别是AB，BC，PQ的中点，异面直线EM与AF所成的角为θ，求cos θ的值. 解答 设N为BF的中点，连接EN，MN，则∠MEN是异面直线EM与AF所成的角或其补角. 不妨设正方形ABCD和ADPQ的边长为4， 在△MEN中，由余弦定理得 思维升华 用平移法求异面直线所成的角的三步法 (1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角； (2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角； (3)三求：解三角形，求出作出的角.如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角. 跟踪训练3　已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为 答案 解析 画出正四面体ABCD的直观图，如图所示. 设其棱长为2，取AD的中点F， 连接EF， 设EF的中点为O，连接CO， 则EF∥BD， 则∠FEC就是异面直线CE与BD所成的角. △ABC为等边三角形， 则CE⊥AB， 故CE＝CF. 因为OE＝OF，所以CO⊥EF. 典例　已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题： ①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β； ②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β； ③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β； ④若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n. 其中所有正确的命题是________. 构造模型判断空间线面位置关系 思想与方法系列16 答案 解析 思想方法指导 ①④ 本题可通过构造模型法完成，构造法实质上是结合题意构造符合题意的直观模型，然后将问题利用模型直观地作出判断，这样减少了抽象性，避免了因考虑不全面而导致解题错误.对于线面、面面平行、垂直的位置关系的判定，可构造长方体或正方体化抽象为直观去判断. 返回 借助于长方体模型来解决本题，对于①，可以得到平面α、β互相垂直，如图(1)所示，故①正确； 对于②，平面α、β可能垂直，如图(2)所示，故②不正确； 对于③，平面α、β可能垂直，如图(3)所示，故③不正确； 对于④，由m⊥α，α∥β可得m⊥β，因为n∥β，所以过n作平面γ，且γ∩β＝g，如图(4)所示，所以n与交线g平行，因为m⊥g，所以m⊥n，故④正确. 返回 课时作业 1.设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，aα，b⊥β，则“α∥β”是“a⊥b”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 若aα，b⊥β，α∥β，则由α∥β，b⊥β?b⊥α， 又aα，所以a⊥b；若a⊥b，aα，b⊥β， 则b⊥α或b∥α或bα，此时α∥β或α与β相交， 所以“α∥β”是“a⊥b”的充分不必要条件，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2.(2016·福州质检)在三棱柱ABC－A1B1C1中，E、F分别为棱AA1、CC1的中点，则在空间中与直线A1B1、EF、BC都相交