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张 量 分 析 第一章 线性空间 若记实数集合为F，F中的元素记为a、b、c、…。 则加法法则将F中的任意两个元素 1.1 矢量集合的运算 对实数域 F，定义n元有序组： 并称定义了实数域上的加法运算和数乘运算的集合为实数 证： 定义加法和数乘运算。显然所有以x为起点的矢量当 取 为加法单位元素时，构成矢量空间 ，且记为Vx 。 Vx空间中的矢量称为约束矢量。 解： 1.2 自由矢量 设 是实数域上的矢量空间，x是 中任一给定的位置矢量。 是所有起点在x点的约束矢量空间。对 中的所有矢量，按（1.1-7）式的平行性，在 中有对应的矢量。若矢量 对任意给定的矢量 ，对不同的x所确定的约束矢量空间 ，按平行性可确定一类约束矢量 。定义 空间中的每一点约束矢量，对给定的 ，按有向直线段： 例2：如图所示给定的5个矢量 。试确定其平行性和等价性。 自由矢量的集合在上述加法 和数乘运算下构成线性空。 且将带有上述加法和数乘运 算的自由矢量空间记为 。 平行四边形法则： 起点在a1 ，终点b3在的有向直线段确定自由矢量c平 行移动至起点在o点。则与c等价的起点在o点的矢量 z可由有向直线段 确定： c∈V为起点在 a 矢量的起点，终点在平行移动后（ 起点 试由平行四边形法则求图1-6 （a）所给矢量 a 和 b 的和。 1.3 自由矢量空间的基底、坐标 设 r1，…，rn ； ，… ， 。若存在 不全为零的 ，…， ，使得： 自由矢量空间的维数n可以是有限的整数（n ），也可 以是无穷大。前者称为有限维自由矢量空间 ，后者称为 无限维矢量空间。本书仅讨论有限维自由矢量空间。同 时由于（1.3-1）式中的 ，因此准确地讲 V是 F 的 n 维自由矢量空间。在不致引起混淆时就称为 n 矢 量空间 V ，或称为矢量空间 V 。 1.5 多重线性映射 Euclid 矢量空间虽然引入了标量积的运算，但标量积是 以抽象的形式所定义。为了使抽象的标量积表现为能够 具体操作形式，则必须引入标准正交基底。为此有如下 若 i1，…，in 是 V 的一组基底，且满足： i） ii） （1.4-10） 则称 i1，…，in 是 V 中的一组基底。 定理 1.4 )线性无关。 V中任意一组非零正交矢量r1，…，rm( 证： 如果 ，且 ，则 r1，…，rm 线 性无关。分别用 r1，…，rm 点乘上式两边得： … … … 定义： … … … ∵ ∴ … … … … 必然有： 因此r1，…，rm线性无关。 证毕。 定理1.5 设 r1，…，rn 是V的一组（一般为非正交）基底，那么一 定有 V 中的一组标准正交基底 i1，…，in ，且： （1.4-11） 证： 令 ，显然 。 令 ∵ r1、r2 线性无关，a2 用 r1 ，r2 线性表示的系数为： ∴ 又∵ ∴ ⊥ 取 ，显然 。依次可求至 。 令 式中i 1，…，i i-1都可由r 1，…，r i-1表示。 ，r i 线性表示。且 r 1，…，r i 线性无关，而 r i 前面系 a i 可由r 1，… ，所以 。用i 1，…，i i-1点乘 a i表达式两边得： ⊥ ，…， ⊥ 取 ，显然 这一过程一直进行到i = n。最后确 定了一组n个两两正交的单位矢量r 1，…，r n 。 证毕。 一但Euclid矢量空间的标准正交基底确定为i 1，…，i n， 则可建立标准正交坐标系 。在 空间V中的矢量 x 可表示为： 坐标系中，矢量 （1.4-12） 例9：已知 ： 试证明 是三维矢量空间的一组基底。并由 确定一组标准正交基底。 解： ∵ ∴ 这是关于 行列式： 的齐次线性代数方程，其系数 因此 无非零解。 线性无关。 是三维矢量空间的一组基底。 取 所以最后得一组标准正交基底为： 在数学分析的函数理论中， 所谓的函数是指不同的实数域 中元素间的对应关系。如： 是将实数域 中的每一个实数与另一个实数域 中 的实数建立了对应的关系。前 一个实数域称为定义域，后 一个实数域称为值域。对二元函数， 其每一个变元都在一 个实 数域内取值。因此其定义域是两个实数域。通常将二 元函数的定义域形式上记为F×F二元函数的值域仍然是实 数