近世代数课件(全)等价关系与集合的分类.PPTVIP

数学与计算科学学院 近世代数 第一章 基本概念 §3 等价关系与集合的分类 一、集合的分类 这三条性质说明，整数集恰好被分成一 些（四个）两两不相交的非空子集的并，这 里的每个子集恰好由除以4余数相同的整数组 成。 例2 这三条特性说明，二阶矩阵集恰好被 分成三个两两不相交的非空子集的并，而每 个子集恰好是由秩相同的二阶方阵组成的。 定义1 对集合分类具有的三个显著的特性还可 以从另一个角度来看，这种看法不仅具有普 遍的意义，同时也更便于进行教学的推理论 证. “同类元素都具有同某种关系，不同类的 元素一定没有这种关系”这种看法所指的“某 种关系”完全由具体的集合、具体的分类所内 定的，决不会千篇一律地都是“差被4整除” 这种关系，比如例2. 二、等价关系 例3 例5 例6 思考题： 定义3 等价关系与分类 定理1：集合A的每个分类都决定了A的一个等 价关系. 定理2 集合A的任一个等价关系～都可确定A的 一个分类. 定义4 注： 思考题： 你还能写出例1中的另一个全体代表团吗？ 一种重要的等价关系——同余关系 例1 设整数集 ，并令 可知， 是整数集 的一些子集 ，并具有以下特征： （1） （2） （3） 一般的，任取一个正整数 ，都能将 分解成 个两两不相交的非空子集的并， ，使得每个子集恰好是由除以 余数相同 则被 的整数组成的。特别地，取 分解成偶数子集和奇数子集的并。 设 是 上一切二阶矩阵组成的集合，令 易知， 的这三个子集满足以下特征： （1） （2） （3） 通过以上2个例子，可概括集合分类的定义. 设 为任一个集合，而 是 的一些 其中 是指标集，如果 （2） （3） 则称 是 的一个分类,而 中每个元素 都叫做 在 下的一个类. 的一些子集组成的集合， （1） 所以，例1中， 就是 的一个分类， 被分成四类； 的一个分类，在 下， 被分成三个类. 是二阶方阵集 例2中， 注意：可以看出，对每一个确定的分类 来说，凡是分在同一类里的元素都具有某种 共同的性质，而分在不同类的元素所具有的 这种性质也必不同。 例1中， 的分类 使在同一类里的整数除以4之后余数都相同， 而分在不同类里的整数除以4后，得到的余 数也必然不同. 之下，同一类的二阶方阵秩数都相同，而分 在不同类里的二阶方阵，其秩数不然不同. 在分类 例2中， 在例1中， 在分类 之下，同在一类的任二整数 与 都具有 这样的关系： 与 的差被4整除， 不在同 一类的任二整数 与 必不具有这种关系， 即 与 的差不被4整除. 但不管上述谈到的“某种关系”具体怎 样，一般来说，集合的任何一个分类都是利 用元素间的“某种关系”而得到的. 这就是下 面要讨论的问题: 定义2 设 为集合， {对，错}，那么 由上述定义知， 中任一对元 ，都可以 判定是否符合这个关系. 到 的每个映射 就叫做 的一个 关系（也称为二元关系）. 若 ，就称 与 符合关系 若 ，就称 与 不符合关系 ，记为 ，记为 ； 在 中，定义关系 （仔细观察可知： 就是例1中的 “除以4同余”的关系） 在 中，定义 例4 （实际上， 就是例2中的“秩相等”的关系） 在 中，定义 “大于”关系 “整除”关系 “不互素”关系 设M是有理数集，规定 是整数 是有理数集的关系. 例7 设M是整数集，规定 不是整数集的关系. 有了关系的概念后，现考虑，用集合 我们可先看看上述的例子： 上的一个二元关系 能否给 确定一个分类 ，即由规则： 与 分在同一个子集 能否得到 的满足分类条件的一族子集？ 能将 分类： . 能将 分类： . 不能将 分类，因为 同在一类，即 在同一类 ，这是不可能的. 不能将 分类，因为 在同一类，但4不能整除2 不在同一类，导出矛盾. 不能将 分类，因 在同一类， 在同一类，但 不在同一类， 这是不可能的. 上述的例子分析可知：不是用 一个二元关系都能给 确定一个分类； 是需要具有特殊性质才行. 的任何 也就是说，能够给集合确定分类的二元关系 为此，我们必须研究下列特殊的二元关系: 如果～具有以下三种性质： 2.对称律（对称性）： 3.推移律（传递性）： 时，习惯称 设～是集合 上的二元关系， 1.反射律（反身性）： 当 时必有 当 时必有 且 那么关系～叫做上的等价关系. 并且当 与 等价. 证明：设 是 的一个分类，用 我们可以规定 上的一个二元关系： 在同一类里，显然～是 的一个关系，须证～是等价关系. 反身性： 2.对称性： 若 3.传递性： 若 由分类的特性知 综上，证得～是等价关系. 证