线性代数方程组的直接解法.PPTVIP

3.2.4 高斯主元素消去法 交换原则：通过方程或变量次序的交换，使在对角线位置上获得绝对值尽可能大的系数作为akk(k)，称这样的akk(k) 为主元素，并称使用主元素的消元法为主元素法 根据主元素选取范围分为：列主元素法、行主元素法、全主元素法 主元素法的意义 全主元素法不是按列选主元素，而是在全体待选系数中选取，则得全主元素法。 例3.3 用全主元素法解下列线组 计算m21=-19/40=0.475，m31=4/40=0.1 (5)- m21(4), (6)- m31(4) 消去x2 得 保留有主元素的方程 3.2.4.1 列主元素法 列主元素法就是在待消元的所在列中选取主元，经方程的行交换，置主元素于对角线位置后进行消元的方法。 例3.4 用列主元素法解下列线性方程组 (5)- m21(4), (6)- m31(4)得 保留有主元素的方程 向量范数是用来度量向量长度的,它可以看成是二、三维解析几何中向量长度概念的推广。 用Rn表示n维实向量空间。 定义3.2 对任一向量X?Rn, 按照一定规则确定一个实 数与它对应, 该实数记为||X||, 若||X||满足下面三个 性质: (1) ||X||?0；||X||=0当且仅当X=0； (2) 对任意实数?， || ? X||=| ? | ||X||； 对任意向量Y?Rn，||X+Y|| ? ||X||+||Y|| 则称该实数||X||为向量X的范数 在Rn中，常用的几种范数有： 当不需要指明使用哪一种向量范数时，就用记号||.||泛指任何一种向量范数。 有了向量的范数就可以用它来衡量向量的大小和表示向量的误差。 设x*为Ax=b的精确解，x为其近似解，则其绝对误差可表示成||x- x* ||，其相对误差可表示成 定义3.5（矩阵的范数）如果矩阵 的某个非负的实值函数 ，满足 3.3 矩阵三角分解法 3.3.1 矩阵三角分解原理 应用高斯消去法解n阶线性方程组Ax=b, 经过n步消元之后, 得出一个等价的上三角型方程组 A(n) x=b(n), 对上三角形方程组用逐步回代就可以求出解来。上述过程可通过矩阵分解来实现。 将非奇异阵A分解成一个下三角阵L和一个上三角阵U的乘积 A=LU 称为对矩阵A的三角分解，又称LU分解 其中 方程组Ax=b的系数矩阵A经过顺序消元逐步化为上三角型A(n),相当于用一系列初等变换左乘A的结果。事实上，第1列消元将A(1)=A化为A(2)，若令： 则根据距阵左乘有L1A(1)=A(2) 第2列消元将A(2)化为A(3)，若令： 经计算可知 L2A(2)=A(3),依此类推,一般有LkA(k)=A(k+1) mi1= a(1) i1/ a(1) 11 i=2,3,……n 于是矩阵 经过消元化为上三角阵 的过程可表示为 上述矩阵 是一类初等矩阵, 它们都是单位下三角阵，且其逆矩阵也是单位下三角阵,只需将 改为 ,就得到 。即 于是有 其中 L为由乘数构成的单位下三角阵，U为上三角阵，由此可见，在 的条件下，高斯消去法实质上是将方程组的系数矩阵A分解为两个三角矩阵的乘积A=LU。这种把非奇异矩阵A分解成一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积称为矩阵的三角分解，又称LU分解。 显然，如果 ,由行列式的性质知，方程组系数矩阵A的前n-1个顺序主子矩阵 非奇异，即顺序主子式不等于零，即 其中 （A的主子阵） 反之,可用归纳法证明,如果A的顺序主子式 则 于是得到下述定理： 定理3.5 设 。如果A顺序各阶主子式, ,则A可惟一地分解成 一个单位下三角阵L和一个非奇异的上三角阵U的乘积。 证：由于A各阶主子式不为零,则消元过程能进行到底, 前面已证明将方程组的系数矩阵A用初等变换的方法分解成两个三角矩阵的乘积A=LU的过程。 现仅证明分解的惟一性。 设A有两种LU分解 其中 为单位下三角阵， 为上三角阵 ∵ A的行列式 均为非奇异矩阵,有 上式两边左边同乘 ，右边同乘 得 上式左边为单位下三角阵,右边为上三