数学推理和证明.PPTVIP

第五讲 数学推理和证明 1.指出下列分类中的错误。 　　(1)凸四边形分为平行四边形和梯形。 　　(2)三角形分为等腰三角形、直角三角形、锐角三角形。 　　(3)不等式分为有理不等式、无理不等式、含绝对值的不等式、不含绝对值的不等式四类。 2.用“属加种差”的方式给“正方形”概念下几个不同的定义。 3.写出下列各命题的逆命题、否命题和逆否命题，并一一判定其真假。 　　(1)若α=β，则cosα=cosβ。 　　(2)若a≠0，b≠0，则ab≠0。 　　(3)若直线l⊥平面α，直线m⊥平面α，则直线l∥直线m。 数学推理 从前一个国家里住着两种居民,一个叫宝宝族,他们永远说真话；另一个叫毛毛族,他们永远说假话.一个外地人来到这个国家,碰见三位居民,他问第一个人：“请问,你是哪个民族的人？” “匹兹乌图”.那个人回答. 外地人听不懂,就问其他两个人：“他说的是什么意思？” 第二个人回答：“他说他是宝宝族的.” 第三个人回答：“他说他是毛毛族的.” 那么,第一个人是 族,第二个人是 族,第三个人是 族. 推理是从一个或几个判断得出一个新判断的思维过程。一个推理由前提和结论两部分所组成，推理时所依据的判断称为前提，从前提通过推理得到的新判断称为结论。 归纳推理 归纳推理或称归纳法，是从特殊性的前提得到一般性结论的推理方法. 由特殊到一般的推理叫做归纳推理。即在研究事物的特殊情况所得到的结论的基础上，得出有关事物的一般结论的推理方法。归纳推理也简称为归纳法。 　　在归纳推理中，根据所研究的是否是事物的一切特殊情况，归纳推理一般又可分成完全归纳推理和不完全归纳推理，也称为完全归纳法和不完全归纳法。 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 不完全归纳法。在研究事物的某些特殊情况所得到的结论的基础上，得出有关事物的一般性结论的推理方法叫做不完全归纳法。 例如，分别考察平行四边形和矩形，得出它们的对角线互相平分的结论，从而得出四边形的对角线互相平分的一般结论即是不完全归纳推理，显然这个结论是错误的。 简单考察凸三边形和凸四边形，它们的内角和均等于其边数减去2所得的差与180°的乘积，从而得出任意凸多边形的内角和均等于其边数减去2所得的差与180°的乘积的一般性结论的推理也是不完全归纳推理。但这里所得结论是正确的。 枚举归纳法 因果归纳法 类比推理 其他推理或称类比法，是根据两个或两类事物在某些属性上的相同或相似，进而推得它们在其他属性上也相同或相似的推理方法 例如，在中学数学中，与平面几何中直线与直线的关系相类比，导出立体几何中平面与平面关系的有关命题，就是用类比的推理方法。 大学的有些数学概念也是类比中学的得到的。 演绎推理 演绎推理是从一般到特殊的推理，它是以某类事物的一般判断为前提作出这类事物的个别特殊事物的判断的推理方法。演绎推理的过程刚好与归纳推理的过程相反。它是逻辑论证中最常用的，也是数学证明常用的推理方法。 演绎推理也是发展假设和理论的一个必要环节。19世纪数学家们由对欧几里得第五公设的独立性的试证导致发现非欧几何。 三段论 所谓“三段论”就是由两个判断(其中至少有一个是全称判断)得出第三个判断的一种推理方法。 　　例如，凡同边数的正多边形都是相似的。这两个正多边形的边数是相同的，所以这两个正多边形也是相似的。 这里有三个判断，第一个判断提供了一般的原理原则，叫做三段论式的大前提；第二个判断指出了一个特殊场合的情况，叫做小前提；联合这两个判断，说明一般原则和特殊情况间的联系，因而得出的第三个判断，叫做结论。 　　任何一个三段论，都是由三个判断组成。而这三个判断中只包含三个不同的概念，其基本模式为 大前提：一切M都是P(或非P)； 　　小前提：S是M； 　　结论：S是P(或非P)。 简述为 例1： 　∵等腰三角形的两底角相等，(大前提M-P) 　∠B、∠C是等腰△ABC的两底角，(小前提S-M) 　　∴∠B和∠C相等。(结论S-P) 例2 证明：Rt△ABC的两锐角∠A和∠B之和为90°。 数学证明 逻辑论证与数学证明 　　 依据一个或一些真实的判断，进而断定另一个判断真实的推理，就叫做论证。由推理的意义知，论证是由一个或一系列推理所组成的。论证的论据必须是真实的，而推理的依据——前提却不必一定真实，所以推理不一定是论证。只有当前提被断定为真实时，推理才是一个论证。 三个部分组成： 　　①论题：需要证明其真实性的判断； 　　②论据：确定论题的真实性所根据的已知真实判断； 　　③论证过程：根据论据进行一系列推理证明论题真实性的过程。 数学证明必须遵守逻辑论证 (1)论题要求明确，始终如一。要论证的命题的条件和结论，必须叙述清楚、准确，在论证过程中不允许有