数学分析不变子空间详解.PPTVIP

* * 7.4 不变子空间 定义：设 是 的一个子空间， 是 的一个线性变换。若 ，则称 在线性变换 之下不变。 若 在 之下不变，则 叫做 的 一个不变子空间。 例1、 本身和零空间 在任意线性变换下不变，称为平凡不变子空间。 例2、令 是 的一个线性变换。证明： 和 在 之下不变。 例3、令 是数域 上的一切一元多项式所成的向量空间， 是求导数运算。令 表示一切次数不超过 的多项式连同零多项式所成的子空间。证明： 在 之下不变。 现在看一看，不变子空间和简化线性变换的矩阵有什么关系。 设 是数域 上的一个 维向量空间， 是 的一个线性变换。假设 有一个非平凡的子空间 ，那么取 的一个基 ，再补充成为 的 一个基 。 在 之下不变 所以， 关于基 的矩阵为： 由此可见，如果线性变换 有一个非 平凡子空间，那么适当选取 的基，可以使与 对应的矩阵中有一些元素是零。特别地，若 可以表成两个非平凡子空间 与 的 直和： ， 那么选取 的一个基 和 的 一个基 ，凑成 的一个基 。当 与 在 之下不变时， 关于这样选取的基的矩阵是 。