chap线性方程组...PPTVIP

令 xr+1 = c1, xr+2 = c2, …, xn = cn-r ，则 齐次线性方程组的通解 记作 x = c1x1 + c2x2 + … + cn-rxn-r ．（满足基础解系②） n ? r 列 前 r 行 后 n ? r 行 故 R(x1, x2 , … , xn-r ) = n ? r ， 即 x1, x2 , … , xn-r 线性无关． （满足基础解系①） 于是 x1, x2 , … , xn-r 就是齐次线性方程组 Ax = 0 的基础解系． 令 xr+1 = c1, xr+2 = c2, …, xn = cn-r ，则 线性方程组的通解 记作 x = c1x1 + c2x2 + … + cn-rxn-r ．（满足基础解系②） 此即为 Ax = 0 的基础解系． 通解为 x = c1x1 + c2x2 + … + cn-rxn-r ，则 令 例1 例2 例3 例3 例4 例4 * * 知识脉络图 I 基本知识 一 向量组的线性相关性 向量组 线性表示 向量组 线性表出, 若两个向量组可以 线性表出, 互相线性表出, 则称它们是等价的 3. 向量组的等价是一个等价关系 4. 线性相关性:若存在不全为零的数 否则称其在P 上线性无关 5. n维单位向量 线性无关,且任何n 维向量皆可由它线性表出 线性相关的充分必要条件是其中某个 6. 是其余部分的线性组合 7. 7. ● 向量组线性无关 向量组的秩等于向量组中的向量的个数 定理 向量组 a1 , a2 , ... , am 线性相关的充 必要条件是 R(A) = m. 的秩小于向量的个数 m ; 向量组线性无关的充分 分必要条件是它所构成的矩阵 A = (a1 , a2 , ... , am) 回顾：线性方程组的表达式 一般形式 向量方程的形式 增广矩阵的形式 向量组线性组合的形式 方程组有解？ 向量 是否能用 线性表示？ 结论：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应． 向量b 能由 向量组 A 线性表示 线性方程组 Ax = b 有解 P.83 定理1 的结论： 结论 方程组 矩阵 向量组的关系 向量 能由向量组 线性表示． 综上，向量 能不能由向量组 线性表示，则 向量组 线性相关性，则说明对应的齐次线性 方程组 有什么样的解的问题 说明它所对应的非齐次线性方程组 有无解的问题； 向量组 B：b1, b2, …, bl 能由向量组 A：a1, a2, …, am 线性表示 存在矩阵 K，使得 AK = B 矩阵方程 AX = B 有解 R(A) = R(A, B) （P.84 定理2） R(B) ≤ R(A) （P.85 定理3） 推论：向量组 A：a1, a2, …, am 及 B：b1, b2, …, bl 等价的充分 必要条件是 R(A) = R(B) = R(A, B)． 证明：向量组 A 和 B 等价 向量组 B 能由向量组 A 线性表示 向量组 A 能由向量组 B 线性表示 从而有R(A) = R(B) = R(A, B) ． 因为 R(B) ≤ R(A, B) R(A) = R(A, B) R(B) = R(A, B) 设有向量组 A：a1, a2, …, am 及 B：b1, b2, …, bl ， 若向量组 B 能由向量组 A 线性表示，即 线性表示的 系数矩阵 设有向量组 A：a1, a2, …, am 及 B：b1, b2, …, bl ， 若向量组 B 能由向量组 A 线性表示，即 对于 b1 ，存在一组实数 k11, k21, …, km1 ，使得 b1 = k11a1 + k21 a2 + … + km1 am ； 对于 b2 ，存在一组实数 k12, k22, …, km2 ，使得 b2 = k12a1 + k22 a2 + … + km2 am ； …… 对于 bl ，存在一组实数 k1l , k2l , …, kml ，使得 bl = k1l a1 + k2l a2 + … + kml am 设有向量组 A：a1, a2, …, am 及 B：b1, b2, …, bl ， 若向量组 B 能由向量组 A 线性表示，即 对于 b1 ，存在一组实数 k11, k21, …, km1 ，使得 b1 = k