第2课时排序不等式讲述.ppt

排序不等式 　　许多经典不等式都有其几何背景，从某些几何不等关系入手，往往能发现重要的不等式定理，这是一种数学实验，其中排序不等式就是在这种实验中产生出来的. 问题提出 探究一：排序不等式的几何背景 思考1：如图，设∠AOB＝a，自点O沿OA边依次取n个点A1，A2，…，An，沿OB边也依次取n个点B1，B2，…，Bn，选取点Ai和Bj得△AiOBj，则这些三角形中哪个的面积最大？哪个的面积最小？ Ai A2 A1 An B1 B2 Bn A B O a Bj △AnOBn面积最大△A1OB1面积最小 思考2：设OAi＝ai，OBi＝bi(i＝1,2,…,n)则△A1OB1,△A2OB2,…,△ AnOBn的面积之和S1等于什么？ △A1OBn,△A2OBn－1,…,△ AnOB1的面积之和S2等于什么？ S1＝ (a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋anbn)sina S2＝ (a1bn＋a2bn－1＋a3bn－2＋…＋anb1)sina 思考3：若将OA边上各点分别对应OB边上不同的点得n个三角形: △A1OBj1,△A2OBj2 ,…,AnOBjn,则这些三角形的面积之和S怎样描述?求S的最值可归结为一个什么问题？ S= (a1c1＋a2c2＋a3c3＋…＋ancn)sina， 其中c1，c2，c3，…，cn是数组b1，b2，b3，…，bn的任意一个排列. 求a1c1＋a2c2＋a3c3＋…＋ancn的最值 思考4：设a1≤a2≤a3≤…≤an b1≤b2≤b3≤…≤bn 把a1b1＋a2b2 ＋a3b3 ＋…＋anbn 称为数组(a1,a2,a3,…,an)和(b1,b2,b3,…,bn)的顺序和. 把a1bn＋a2bn-1＋a3bn-2＋…＋anb1称为数组(a1,a2,a3,…,an)和(b1,b2,b3,…,bn)的反序和. 则顺序和、反序和的数学意义是什么？ 将两组数按相同顺序相乘所得积的和 将两组数按相反顺序相乘所得积的和 思考5：设a1≤a2≤a3≤…≤an b1≤b2≤b3≤…≤bn 数组c1，c2，c3，…，cn是数组b1，b2，b3，…，bn的任意一个排列. 把 a1c1＋a2c2＋a3c3＋…＋ancn 称为数组(a1,a2,a3,…,an)和(b1,b2,b3,…,bn)的乱序和，则乱序和的数学意义是什么？ 将两组数按任意顺序相乘所得积的和 探究二：排序不等式（排序原理） 思考1：数组(1，2，3)和(2，4，6)的顺序和,反序和分别为多少？任意一个乱序和为多少？ 顺序和为28,反序和为20,乱序和为26. 思考2：对某两个确定的数组，凭直觉猜测,其顺序和，反序和，乱序和三者的大小关系如何？ 反序和≤乱序和≤顺序和 定理【排序不等式，又称排序原理】 设a1≤a2≤ …≤an，b1≤b2≤…≤bn 为两组实数，c1,c2,c3,…,cn是b1,b2,b3,…,bn的任一排列,则 a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1 ≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn ≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn 即：反序和≤乱序和≤顺序和. 当且仅当a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn时,反序和等于顺序和. 迁移应用 例1.有10个人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满第i(i＝1,2,…,10)个人的水桶需要ti分钟,假定这些ti各不相同.问只有一个水龙头时, 应如何安排10人的顺序,才能使他们等候的总时间最少?最少总时间为多少？ 　　应按水桶的大小由小到大依次接水才能使他们等候的总时间最少，最少总时间为10t1＋9t2＋…＋2t9＋t10. 练习1：某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品４件，５件和２件。现在选择商店中单价分别为３元、２元和１元的礼品。则最少要花____元，最多要花____元。 19 25 例2.设a1，a2，…，an是互不相等的正整数，求证： 练习2： 已知abc0,求证:a2+b2+c2ab+bc+ca. 小结作业 1.排序不等式表明： 　　 反序和≤乱序和≤顺序和 2.利用排序不等式解题具有一定的技巧性，合理构造顺序和与反序和，适当搭配乱序和是解题的关键. 3.利用排序不等式证不等式时, 首先要明确所研究的对象是哪类和式，一般思路是： 反序和 乱序和 顺序和 放大 缩小 缩小 放大 ≤ ≤ * * * *